简析椭圆中的b2/a2

（2011江苏高考第18题）如图1,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x2/4＋y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,     

sin^2a＋cos^2a=1的应用

sin^2a cos^2a=1是三角函数中一个十分重要的基本公式，由于1的特殊性，它在解题中有着独特的作用，本举例谈谈这个公式在以下几个方面的应用，供学生学习参考。     

浅谈(√a)2与(√a2)的异同

1.相同点 (1)它们都是二次根式; (2)它们都是非负数;     

用a≥2-1/a证不等式

若a∈R_ ,则有a≥2-1/a (*),等号当且仅当a=1时成立. 不等式(*)不仅结构简单,而且利用它还可以简捷地证明一些较难的不等式.下面举几例说明. 例1 设a_i,b_i∈R_ ,且sum from i=1 to n(a_i)=sum from i=1 to n(b_i),求证sum from i=1 to n(a_i~z)/(a_i b_i)≥1/2 sum from i=1 to n(a_i).(1991年亚太地区数学竞赛题)     

(√a)2与√a2的异同

1.字母a的取值范围不同 (√a)2=a中a≥0,即a是非负数.而√a2=| a|中a可取一切实数.例如:等式(√x-y)2=x-y成立的前提条件是x-y≥0,即x≥y.而等式√(x-y)2=| x-y |,不论x-y＞0,x-y=0或x-y＜0都成立,并且根据绝对值的定义有:√(x-y)2=| x-y |={ x-y(x＞y) 0 (x=y) y-x (x＜y)     

(a~(1/2))~2=a与(a~(1/2))~2=|a|

二次根式运算中,公式(a~1/2)~2=a与a~1/2=|a|的应用十分广泛,为了帮助同学们正确地使用这两个公式解题,下面先介绍两个公式的意义及其作用,再举例予以说明。 1.公式(a~1/2)~2=a与(a~2)~1/2=|a|的意义 (1) 公式(a~1/2)~2=a中,(a~1/2)~2表示a的算术根的平     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

（√a）2和√a2

（√a）2和√a2是两个重要的式子．由于它们形状相似,极易混淆．下面,结合例题比较它们的异同：     

N■a (a 1) (a 2) … (a k)

无疑,若干个连续自然数的和仍为自然数.反之,任一自然数都可以分拆成若干个(至少两个)连续自然数之和吗?显然,1与2应否掉(二连续自然数之和最小为3);再者,仅为2~n(n∈N)的自然数也在剔除     

数学公式a2+b2〉2ab在物理解题中的应用

一、运动学问题例1甲、乙两汽车同时从甲地驶往乙地,甲在前一半时间和后一半时间的速度分别为V1和V2;乙在前一半路程和后一半路程的速度分别为V1和V2。则甲、乙两汽车,哪一辆先到达乙地?解设甲、乙两地距离为s,甲用时间为t1,乙用时间为t2,据题意得:     

多项式（a1＋a2＋a3＋a…＋am）^n展开式项数之初探

(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ…     

a~2和2a

有一天,a2遇见2a,觉得好面熟,便主动上前问好。2a疑惑地说:“您好,a的平方,我想你一定是认错人了。”a2仔细打量     

∑1/a2的下界估计

文[1]给出∑1/a2的上界估计,即设a、b、c为△ABC的三边长,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径,则有     

多项式(a1+a2+a3+…+am)~n展开式的项数

<正> (a+b)n二项展开式有n+1项,(a+b+c)n三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出.[(a+b)+c]n=C_n~0(a+b)nc0+C_n~1(a+b)n-1c1+…+C_n~r(a+b)n-rcr+…+C_n~n(a+b)0cn,其展开式的项数为(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=(n+1)(n+2)/2,(*)     

公式(a~(1/2))~2=a和a~(1/2)=|a|的区别

一、区别 (a ) 2 =a和 a2 =| a|的意义1.(a ) 2的意义是 a的算术平方根的平方 ,因为负数没有平方根 ,因此在 a中的 a必须为非负数 ,所以 (a ) 2 =a。2 . a2的意义是 a2 的算术平方根 ,因为 a2 ≥0 ,即 a2为非负数 ,而实数 a可能是正数 ,也可能是负数 ,还可能是零 ,所以 a2 =| a | =a　 (a≥ 0 ) ,- a　 (a<0 )。二、区别公式 (a ) 2 =a和 a2 =| a|的作用1.公式 (a ) 2 =a的作用有两点 :(1)正用可以化简二次根式 ;(2 )逆用可将一个非负数写成一个数的平方。例 1.把下列各式写成平方差的形式 ,再分解因式。(1) 4 a2 - 7;(2 ) 16b2 - 11。(课本…     

利用“a2＋b2=c2”构造直角三角形证不等式

某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1　直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1　设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 .　　　　　图 1证明　注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ…     

多项式(a1+a2+a3+…+am)n展开式项数之初探

(a+b)n二项展开式有(n+1)项,(a+b+c)n三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出:[(a+b)+c]n=C0n(a+b)nc0+C1n(a+b)n-1c1+…+Crn(a+b)n-rcr+…+Cnn(a+b)0cn,其展开式共有(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=(n+1)(n+2)/2项.那么(a1+a2+a3+…+am)n展开式又有多少项呢?     

例谈用│a│~2·│b│~2≥(a·b)~2求多元函数最值

本刊文[1]用了10种方法,通过15个例题说明了多元函数最值的求法.受此启发,本文将用向量中的重要不等式a2·b2≥(a·b)2来解决部分多元函数最值问题,权作对文[1]的补充.我们把a和b都看成n维向量(n≥2),它们的坐标表示分别是a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),定义向量a和b的数量积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn,则a=a12+a22+…+an2,b=b12+b22+…+bn2,由柯西不等式:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,推得a2·b2≥(a·b)2.下面举例说明其应用.例1已知3a2+2b2=5,试求y=2a2+1·b2+2的最大值.解由题意,将已知条件等价变形为32(2a2…     

对根式q1n1√a1+q2n2√a2+…+qsns√as无理性的研究

利用对称多项式以及整系数方程根的有关性质，得到了形如q1 n1√a1＋q2 n2√a2＋…＋qs ns√as（a1、a2、…、as、n1、n2、…、ns是大于1的正整数，a1、a2、…、as互不相等，q1、q2、…、qs为任意非零有理数）为无理数非常简单的一种判别方法．     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).