不等式n(∏)i=1(1/xi-xi)≥(n/k-k)n成立的另一限制条件

文[1]用数学归纳法证明了如下不等式:设正整数n≥3,xi＞0(i=1,2,…,n),n∑i=1xi=k≤1,则     

柯西不等式变式的妙用

柯西不等式常活跃在各类考试中,其重要变式：若xi,yi〉0,则 n∑i=1 yi^2/xi≥（n∑i=1yi）^2/n∑i=1xi（＊） 当且仪x1/yi=x2/y2=…=xn/yn时等号成立．     

一个求最值问题的简解与推广

<数学通报>2009年第4期刊登的问题1785:"设0≤xi≤1(i=1,2,3,...,n),n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1.试求f(x1,x2,...,xn)=n∑i=1xi/(1+x2i)的最大值"的解答繁难复杂,不易发现和掌握.     

对一个猜想的否定

李永利老师在文[1]最后提出了一个猜想： 猜想 设xi〉0（i=1,2…,n）,^n∑i=1 xi=1,则^n∏（1/1-xi ＋xi）≥（n/n-1 ＋1/n）^n。     

一个不等式的再推广

文[1]给出如下命题及猜想： 命题 设xi〉0（i=1,2,…,n）,n∑i=1xi=1,则n∏i=1（1/1-xi-xi）≥（n/n-1-1/n）^n,（1）,当且仅当x1=x2=…=xn=1/n时等号成立。     

对不等式sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8的再探究

在△ABC中,有一个熟知的不等式sin A/2sinB/2sinC/2≤1/8.本文借助琴生不等式给出它的几个推广. 琴生不等式 设f″(x)＜0,则 1/nn∑i=1f(xi)≤f(1/nn∑i=1xi) 即 n∑i=1f(xi)≤nf(1/nn∑i=1xi) 引理 若f(x) =sinx,x∈(0,π),则 f"(x)＜0. 定理1 在△ABC中, sinA/nsinB/nsinC/n≤sin3π/3n(n∈N*).     

用切线法新探一类条件不等式

文[1]在文[2]对不等式“若xi〉0,i=1,2,3,且∑i=1^3 xi=1,则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出的初等证明进行探究的基础上,得出如下结论：在xi〉0,i=1,2,3……且∑i=1^n xi=m的条件下,欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立。只需构造函数f（x）=g（x）=（ax＋b）且使f（m/n）=0.     

再生核空间wn2[a,b]中高阶线性变系数微分方程数值解

本文讨论W2^n[a,b]空间中高阶线性变系数微分方程{y^(n) an-1(x)y^(n-1) … a1(x)y a0(x)=0 ,x∈[a,b] y(xi)=yi(i=1,2,…，n)当互异节点系{xi}i=1^n‘包含[a,b]和（xi,yi)（i=1,2,…n)已知时，多点边值问题的数值求解。     

应用不等式n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2解竞赛题

定理设n≥2,xi∈R(i=1,2,…,n),则有n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2,且在诸xin全相等时才取等号.     

限定条件下nⅡi=1（xi＋1/xi）的最小值

文[1]证明了下述结果： 设xi∈R^＋,i=1,2,……，n,且nⅡixi=1,则nⅡi（xi＋1/xi）≥（n＋1/n）^n（1）     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用∑ni=0xi=xn+1-1x-1推出了∑i=n0ikxi=∑i=n0Si(k)(x-1)i及Si(k)=iSi(k-1)+(i+1)Si+1(k-1)(0≤i≤n),且si(0)=sn+1i+1i=0(0≤i≤n)。获得了si(k)的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

三元Shapiro循环不等式的推广

设xi∈(0, ∞)(i=1,…,n),n≥3,xn 1=x1,xn 2=x2,1954年Shapiro猜想:     

两个乘积不等式的新证法

给出不等式Ⅱ^n i=1[xi 1/xi]≥[n 1/n]^n的一种新证法，并给出不等式Ⅱ^n i=1[1/xi-xi]≥n-1/n的证明。     

征解问题173的解决

<数学通讯>1997年第7期上征解问题173是: 设xi＞0,i=1,...,n,Sn=x1 ... xn,Pi,j=(xi/xj)(Sn-xi-xj),则Tn=P1,2 P2,3 ... Pn-1,n Pn,1≥(n-2)Sn(n≥3).(1)     

对两个优美不等式的再巧证

《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1,2,3,…,”）,n∈N,n≥3,且∑i=1^n xi=1.试求f（x1,x2,…,xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂,不易发现和掌握．笔者立足基本方法,从简单自然解题的角度探究发现,用均值不等式解之,更能凸现问题本质,展示数学的简洁美．     

利用排序原理简证征解题173

《数学通报》1997年第7期的征解问题是：设xi〉0（i=1,2,…,n,n≥3）,证明或否定（记S=x1＋x2＋…＋xn）（aij=xi/xj）;     

高考全国理科卷1压轴题别解

首先介绍一个重要的不等式: 詹森(Jensen)不等式:若f为[a,b]上凸函数(f″≥0),则对任意xi∈[a,b],λi＞0(i=1,2,…,n),∑ni=1λi=1,有     

一道最值题推广的巧证

题:设x_i∈R,i=1,2,…,n,且∑_(xi)=m,则sum from i=1 to n(i~2/x_i≥n~2(n 1)~2/4m. 这是熊光汉老师将命题:x,y,z>0且     

利用切线方程证明不等式

笔者经过研究发现,对满足条件∑n i=1xi=A（≥A,≤A）,形如∑n i=1xif（xi）≥M（≤M）（A、M为常数）的不等式,利用切线方程证明是一个很好的方法．     

一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.