杨辉三角中被素数整除的组合数及其个数

设n为素数,t∈N,a=∑ti=0aini,这里ai∈N,0≤ai≤n-1,0≤i≤t,推出了杨辉三角第a行的组合数被n整除的有a+1-∏ti=0(ai+1)个,第0行至第nt-1行的组合数中,被n整除的有nt+12-n+12t个,斜列a+rr:r=0,1,…,bnt+1-1,(b＞0)中被n整除的有bnt+1-∏ti=0(n-ai)个,得到了ar≡0(modn)和a+rr≡0(modn)成立的充要条件.     

两列相干波的峰峰交点和谷谷交点连线的中点就是波的平衡位置吗?

在机械波一章中，我们常常看到有关相干波中衡位置的判断问题．如下面的两个习题便是．原题如下：例1．如图1所示表示两列相干水波的叠加情况，图中实线表示波峰，虚线表示波谷．设两列波振幅均为5cm且图示的范围内振幅不变．波速和波长分别为1m／s和0．5m．C是B、E连线中点．下列说法中正确的是：     

最小非元素问题引发的一个美妙数阵

以mex{S}(mex由minimum -exclude(最小 -排除 )而来 )表示不属于 (非负整数有限集 )S的数中最小的非负整数 ,即mex{S}={a|a∈Z- ,a S ,a≤x S}.现构造如下数阵[1]A ={aij}=mex{Sij},其中Sij是由A中第i行aij左边和第 j列aij上面的元素的集合 :A =a11　a12 　…　a1,j- 1　a1j　…a2 1　a2 2 　…　a2 ,j- 1　a2 j　……　…　…　…　…　…ai1　ai2 　…　ai,j- 1　aij　……　…　…　…　…　…S0 0 = ,Sij={ai0 ,… ,ai,j- 1;a0 j,… ,ai- 1,j}　i,j=1 ,2 ,…问题[2 ] :第 777行的第 1 0 0 1个元素a777,10 0 1=?可归纳地证明 :每…     

证明分式不等式的一个行之有效的方法

证明分式不等式的困难在于化去分母并能降低次数,本文试图推出一个公式,以达到消去分母并降低次数的目的．设想已排好的一张m行n列的数表,其中的aij,）0（f一1,2…·。,j—I,2,…,。）设每一列的元素和为人一面a。。,j—l,2,”’,n,每一行的元素积为且一IIa。。,i一1,2…·,m．则据j一平均值不等式有将上面n个不等式相加得等号当且仅当数表中所有行对应的元素成比历时成立．下面举例说明公式的应用．例1设a,b,c,d为非负实数,且ah＋be＋cd＋d“l,＿＿＿＿…＿＿．＿＿。H－＞＋（第对届IMO预选题）a＋b＋c”3””·…     

2k阶银矩阵的存在性和构造法

第38届IMO第4题: 一个n×n的矩阵(正方阵)称为n阶“银矩阵”,如果它的元素取自集合 S={1,2,…,2n-1},且对每个i=1,2,…,n,它的第i行和第i列中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素.证明: (a)不存在n=1997阶的银矩阵; (b)有无限多个n的值,存在n阶银矩     

从一道高考题说起

1993年全国普通高考数学卷中有这样一道题 :同室四人各写一张贺年卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 ,则四张贺年卡不同的分配方法有 :(A) 6种 (B) 9种 (C) 11种 (D) 2 3种这道题用穷举法不难得出答案 B.现在要问 :当人数增大到难于用穷举法时 ,能否用其它方法解答呢 ?答案是肯定的 .我们先将这类问题一般化 :问题 :将 a1 ,a2 ,a3,… ,an,共 n个元素排成一行 ,要求元素 ai 不在第 i(i∈ N且 1≤ i≤ n)位上 ,问共有多少种排法 ?解法 1　设这样的排法共有 f (n)种 ,则 :(1)显然 f (1) =0 ;(2 )当 n≥ 2时 ,先将这 n个元…     

2006年高考数学模拟试题（三）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若z2+z+1=0,则z2005的值是().A.1B.-1C.21±23i D.-12±23i2.已知平面上直线l的方向向量e=-45,53,点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1和A1,则O1A1=λe,其中λ=().A.151B.-151C.2D.-23.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,2,4},Q={1,2,6},则P*Q中元素的个数是().A.9B.8C.7D.64.已知直线m、n和平面α,则m∥n的一个必要不充分条件是()·A.m∥α,n∥αB.m⊥α,n⊥αC.m∥α,nαD.m,n与α成等角5.…     

一道高考试题的推广

2006年全国高考(河南卷)理科数学第12题是:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有()种.(A)50 (B)49 (C)48 (D)47本文先探究出 I 含有 n 个元素时的计数方法,然后再看上述的求解.推广设 I 是由 n 个互不相等的实数组成的集合,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使A中的数小于 B 中的数,则不同的选法共有     

关于四个六阶拉丁方计数〈34的计算机证明

本文主要内容是:①构造了验证两个六阶拉丁方计数为34的算法.②设A是任意的一个六阶拉丁方Y=(?)其中n_1,n_2,…,n_6是1,2,3…,6的某一种排列,P:形为Y且与A的每列相比恰有一位元素相同的列全体,则N(P,A)=|P|≤32,N(P,A,k)≤8(k=1,2,…,6).③任何四个六阶拉丁方其计数<34.     

排列？组合!——例谈排列中的“定序”问题

排列与组合是两个基本计数原理的重要应用,它们都是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素,不同之处在于：排列是按照一定的顺序排成一列,组合是没有顺序地并成一组．前者突出一个“列”字,与“数列”一样,强调元素的有序性,后者突出一个“合”字,与“集合”一样,强调元素的无序性．     

一类三角方阵之Jordan变换阵的简捷计算

文[1]在P14给出，对于P阶上三角方阵1）当al一O时，B的初等因子只有以一见。尸l2）当al—…一at－1—0，at一0时，B的初等因子有底一h个（1－ac）．和h个（X一ac）9＊‘．（这里p。qk＋h，0＜hwtk）从而使我们能够很快地写出B的J0rdan标准形。本文则讨论B的Jordan变换阵T的简捷计算．本文所用记号e』表示第j行为1其余各行全为零的单位列向量，eJ”是它的转量，T。（k）是第三种初等变换所对应的初等矩阵［刀．引理1［2］对任一mXn阵A一（勾）。。n，恒有Aej一aj，j一至，2，…n；。l”A一三，i—l，2，…．m，其中…为A的第j列向为A…     

无字证明阿基米德平方求和公式亮相安徽中考试题——从安徽2017年中考第19题说起

1 原题呈现 阅读理解: 我们知道,1 + 2 + 3 + … + n ＝ n(n + 1)2 ,那么12 + 22+ 32 + … + n2 结果等于多少呢? 在图1 所示三角形数阵中,第一行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2 + 2,即22;……;第n 行n 个圆圈中的数的和为n + n + … +nn个n ,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n + 1)2 个圆圈,所有圆圈中数的和为12 + 22 + 32 +… + n2.     

数列的递推关系在图形中应用

1数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律,数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为——．     

2005年浙江高考数学试题

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.limn→∞1+2+3+…+nn2=()(A)2(B)1(C)21(D)02.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()(A)12(B)23(C)22(D)3223.设f(x)=|x-1|-2,|x|≤1,11+x2,|x|>1.则f f12=()(A)21(B)143(C)-59(D)42154.在复平面内,复数1i+i+(1+3i)2对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()(A)74(B)121(C)-74(D)-1216.设α、β为两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,且lα,mβ,有…     

数学奥林匹克高中训练题(7)

第一试 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.十个元素组成的集合肘=(19,93,一1,O,25,一78,一94.1,17,一2}.M的所有非空子集记为M,(i=1,2,…,1023),每一非空子集中所有元素的乘积 芒记为Ⅲi(i一1,2,…,1023).则厶m,一( ). f口l (A)O (B)1 (C)一1 (D)以上都不对 2.△ABC的三个     

Cramer法则的推广

1、问题的提出Cramer法则指出：若线性方程组AX＝B的系数矩阵A＝式，那么线性方程组有解，且解唯一，解为：其中di是把矩阵A中第i列换成B所成的矩阵的行列式。若不满足Cramer法则条件即方程组中方程的个数与未知量的个数不等，如何用Cramer法则解线性方程组呢？2、命题与方法文［2）中给出了“广义行列式”的定义，定义如下：设DZl％l是数域F上的n阶行列式，又B；，B。，B。，…。Bn为F上的nxt矩阵，现将D中的某一行或某一列中的元素依次换为民，B。，…，Bn后所得到的“行列式”称为广义行列式。它的定义与普通行列式的定义完全一…     

关于不完全正交六阶拉丁方多重解的计算机解答

本文采用的记号: H:第一行第一列为标准顺序主对角线元素均为1的六阶拉丁方的集合。 Hm:第一行第一列关于主对角线对称且主对角线元素均为m的六阶拉丁方集合。 H′m:主对角线元素均为m的对称六阶拉丁方的集合。 A(i):表示拉丁方A的第i列。     

一道高考题的五种解法

2002年春季高考第(16)题是: 对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,Y2为实数),定义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P1.p2,点o为坐标原点,若w1⊙w2=0,则在△P1OP2中,相似文献   

新加坡中一、二数学竞赛题选

一、选择题 (有且只有一个答案正确 )1 .如果四个不同的正整数 m,n,p,q满足 (7- m) (7- n) (7- p) (7- q) =4,那么 m n p q等于 (　 )(A) 1 0　 (B) 2 1　 (C) 2 4　 (D) 2 6　 (E) 2 82 .某国人口第 1年增长 i ,第 2年增长j ,那么这两年人口共增长了 (　 )(A) (i j) (B) ij (C) (i ij)(D) (i j ij1 0 0 ) (E) (i j i j1 0 0 )3.如果一个序列 {ai}满足 a1 =2 ,an 1 =an 2 n(n为自然数 ) ,那么 a1 0 0 是 (　 )(A) 990 0　　 (B) 990 2　　 (C) 990 4(D) 1 0 1 0 0　　 (E) 1 0 1 0 24.若有 5 0个数的算术平均…     

由分析一道北京高考试题引发的思考

一、问题提出笔者执教2013届高三数学时,在2012年9月的上海市松江二中高三数学诊断性测试中有这样一道题(2012年北京高考压轴题改编):设A是由2×3个实数组成的2行3列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(2,3)为所有这样的数表组成的集合.对于A∈S(2,3),记r_i(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤2),c_j(A)为A的第j列各数