值为“0”的代数式作条件的求值问题

例1 若x,y满足（x＋2y-2）（3x＋2y＋2）＋2（x^2＋4）=0,求xy的值． 分析 由原式得 5x^2＋8xy＋4y^2-4x＋4 = 0,     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

一题多解与一题多变

题目 实数x,y满足 2x^2＋4xy＋2y^2＋x^2y^2≤20, 则2√2（x＋y）＋xy的取值范围是____.     

关于Diophantine方程x^3±8=Dy^2

证明了当D为奇素数,且D=3（8k＋5）（8k＋6）＋1,其中k是非负整数,则方程x^3＋8=Dy^2无正整数解;当D为奇素数,且D=3（4k＋3）（4k＋4）＋1,则方程x^3＋8=Dy^2无正整数解。     

数形联手速解题

例1条件甲：x^2＋y^2≤4;条件乙：x^2＋y^2≤2x,那么甲是乙的（ ）     

一个数学问题的简证

问题 对任意非负实数x,Y,z,证明：2/3（x＋y＋z）^2≤√（x^2＋y^2）（y^2＋z^2）＋√（y^2＋z^2）（z^2＋x^2）＋√（z^2＋x^2）（x^2＋y^2）.     

复数集内一元二次方程的解法

实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0在实数范围内的解的情况：ax^2＋bx＋c=a（x^2＋b/ax）＋c=a[x^2＋b/ax＋（b/2a）^2]＋c-b^2/4a=a（x＋b/2a）^2＋4ac-b^2/4a=0,即（x＋b/2a）^2=b^2-4ac/4a^2.     

2006年全国高中数学联赛加试第3题的推广

2006年全国高中数学联赛加试第3题： 解方程组：（x-y＋z-w=2;x^2-y^2＋z^2-2^2=6;x^3-y^3＋z^3-w^3=20;x^4-y^4＋z^4-w^4=66.）     

整式的加减算理分析

例题 计算：3（2x^2-4y^2）-2（4x^2-5y^2） 解：原式=6x^2—12y^2-8x^2＋10y^2 ① =6x^2-8x^2-12y^2＋10y^2 ② =（6x^2-8x^2）-（12y^2-10y^2） ③ =（6—8）x^2-（12—10）y^2 ④ =-2x^2-2y^2。 ⑤ 算理分析： ①应用了去括号法则,实际上就是乘法的分配律; ②应用了加法交换律; ③应用了加法结合律; ④合并同类项; ⑤应用了有理数的加法法则．     

2006年全国高中数学联赛加试题第3题的简解

题目：解方程组 {x-y＋z-w=2,（1） x^2-y^2＋z^2-w^2=6（2） x^3-y^3＋z^3-w^3=20（3） x^4-y^4＋z^4-w^4=66（4） 这是2006年全国高中数学联赛加试题的第3题，题目中的元素排列很有规律．[1]中的基本解法和两个巧思妙解中，虽对称性还保留了一些，但数学美已经荡然无存．美的题目，也应该有个美的解法．[第一段]     

问疑答难

与方程根的个数有关的参数问题设函数f（x）=（x＋2）^2-2ln（2＋x）.若关于x的方程f（x）=x^2＋3x＋a在区间[-1,1]上只有一个实数根,求实数a的取值范围.解：方程f（x）=x^2＋3x＋a可化为x-a＋4-2ln（2＋x）=0.令g（x）=x-a＋4-2ln（2＋x）,则g′（x）=x/（2＋x）.     

分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究

1986年全国高中数学联赛有这样一道填空题：已知f（x）＋4x^2^-4^x,则f（1001^-1）＋f（1001^-2）＋…＋f（1001^-999）＋f（1001^-1000）的值是______。     

竞赛中因式分解题的解法

例1分解因式：x^3＋（2a＋1）x^2＋（a^2＋2a-1）x＋（a^2-1）.     

2007年中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中正确的是（ ） （A）2^-2=-4 （B）（3^3）^2=3^5 （C）（√2＋1）（√2-1）=1 （D）x^8÷x^4=x^2[第一段]     

整式乘法创新题

一、求值题 例1若（x^2＋nx＋3）（x^2-3x＋m）的展开式中不含x^2和x^3的项，求m和n的值．     

方程x~4+px+q=0的根的讨论及应用

利用判别式△=b^2-4ac能判断关于x的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况,笔者类比发现利用△4=（p/4）^4-（q/3）^3也能判断方程x^4＋px＋q=0的根的情况？不妨约定△4=（p/4）^4-（q/3）^3为方程x^4＋px＋q=0的根的判断式,可以得出下列三个结论：     

用配方法解赛题

例1函数 f（x，y）=x^2＋2xy＋3y^2-4x-8y＋3的最小值是——．（第9届希望杯高二培训题）     

2012年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）

一、填空题（每小题8分,共40分） 1．函数y=x^4-13x^2＋36/（x-3）（x＋2）图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点．     

解整式加减有高招

一、合并同类项 例1 合并下列多项式中的同类项： （1） 8x^2y-4xy^2-2xy＋3xy^2-8x^2y＋5xy; （2）a^2b^2＋2ab-7a^2b^2-5/2ab-1＋5a^2b^2.