一道CMO试题的另解

题目 设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点A＇在线段AO的延长线上，使得∠BA＇A=∠CA＇A．过A＇作A＇A1⊥AC、A＇A2⊥AB，垂足分别为A1、A2，作AHA⊥BC，垂足为HA．记△HAA1A2的外接圆半径为RA，类似地可得RB,RC.求证：1/RA＋1/RB＋1/RC=2/R，其中，R为△ABC的外接圆半径．     

一道全国初中联赛试题的简证

题目如图，D，E是ΔABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF． （1）判断ΔABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．[第一段]     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道CMO试题的加强及应用

2002年加拿大数学奥林匹克（CMO）竞赛中有一道试题：     

一道CMO赛题的简证

2007年中国数学奥林匹克（CMO）第一题为： 设a，b，c为给定的复数，记｜a＋b｜=m，｜a—b｜=n，已知mn≠0，求证： max{｜ac＋b｜，｜a＋bc｜}≥mn/（√m^2＋n^2）（1）[第一段]     

一道CMO试题的纯代数证法

题目 在Rt △ABC中，∠ACB=90°，△ABC的内切圆⊙0分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD，与内切圆⊙0相交于点P，联结即、CP．若∠BPC=90°，求证： AE＋AP=PD．[第一段]     

一道2007北方数学奥林匹克试题的推广

2007第三届北方数学奥林匹克第8题为设ΔABC的内切圆半径为1,三边长BC =a,CA=6,AB=c.若a、6、c都是整数,求证:ΔABC为直角三角形.文[1]中刘康宁先生指出,该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期"数学问题"栏.其实     

一道IMO试题的别证

2007年7月第48届国际数学奥林匹克（IMO）第4题为： 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K,L分别是边BC,AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．     

一道CMO试题的别解与拓广

题目给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A、D分别是边PB、PC上的点,连结AC、BD相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F,线段BC、AD的中点分别为M、N．     

2002年CMO试题解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b相似文献   

一道美国数学奥林匹克试题的注记

题目 设锐角△ABC的内切圆、外接圆分别为ω、Ω,外接圆半径为R．圆ωA与Ω内切于点A且与圆ω外切;圆ΩA与Ω内切于点A且与圆ω内切．设PA、QA分别是圆ωA、ΩA圆心．同理,定义点PB、QB、PC、QC．证明：8PAQA·PBQB·PCQC≤R^3,①当且仅当△ABC是正三角形时,上式等号成立．     

一道竞赛试题的简证与其它

第32届美国数学奥林匹克第5题[1]: 设a,b,c是正实数,求证:     

一道数学奥林匹克试题的引申

第16届亚太地区数学奥林匹克(2004年3月)压轴题为： 证明：对任意正实数a,b,c,均有(a2+2)·(b2+2)(c2+2) ≥9(ab+bc+ca.)     

对一道CMO试题的讨论

题目 给定整数n≥2.设n个非空有限集A1,A2,…,An满足: |Ai△Aj|=|i-j|(i、j∈{1,2,…,n}), 规定 XAY={a|a∈X,a(∈)Y}U{a|a∈y,a(∈)X｝. 求|A1|+|A2|+…+|An|的最小值.[1] （2013,中国数学奥林匹克） 文[1]给出的参考解答,采用配对思想, 简洁有效地得出了所需的下界估计.下面给 出另外两种解法.     

一道CMO试题的联想

1996年CMO的第一题是罗增儒教授提供的一道平面几何题，笔者研究发现此问题有多种变形，可设计出很多新颖的问题，故很多MO试题都与此题相关．     

2O08中国数学奥林匹克

第一天 1.设锐角△ABC的三边长互不相等,O为其外心,点A′在线段AO的延长线上,使得∠BA′A＝∠CA′A.过A′作A′A1⊥AC、A′A2⊥AB,垂足分别为A1、A2,作AHA⊥BC,垂足为HA.记HAA1A2的外接圆半径为RA,类似地可得RB、RC.求证:     

一道数学奥林匹克试题的简证

第16届亚太地区数学奥林匹克（2004年3月）压轴题为：     

一个引理与一道CMO题的解

2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ.     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.