杨乐不等式的几何证明

我国著名数学家杨乐教授在[1]中,谈到他在函数值分布论的研究中,曾建立了如下一个不等式     

杨乐不等式的又一初等证明

对杨乐不等式: 设A>0,B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则 cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ ≥sin~2λπ (1)《中学数学》(苏州)93年第4期及《中学数学》(湖北)95年第1期分别给出了两种初等证明,本文用配方法给出它的又一初等证明。     

杨乐不等式的一种配方法证明

配方法是中学数学中的一种重要手段，应用极广，本文介绍它在证明著名的杨乐不等式中的巧妙应用．     

利用不等式的性质证明简单不等式

<正>利用不等式的性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式变形,要注意不等式的性质成立的条件,如果不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构,再利用不等式的性质进行转化。例1设函数f(x)=|lgx|,若0f(b),试证明:ab<1。分析:要证明ab<1,需利用对数函数的性质进行综合分析。证明:因为f(a)=|lga|,f(b)=     

杨乐不等式的注记

我国著名的数学家杨乐院士在函数值分布论的研究中曾建立如下的一个三角不等式 :cos2 λA cos2 λB- 2 cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ (1 )其中 A>0 ,B>0 ,A B≤π,0 <λ<1 .此不等式有许多证法见文 [1 ]～ [3 ],文 [4]～ [6]对不等式 (1 )进行各种探索和推广 .如文 [4]一下子给出 1 5个类似于不等式 (1 )的新三角不等式 ;文 [5 ],[6]对不等式 (1 )给予推广和加强等 .笔者指出 :所有这些三角不等式均可由因式分解法[1 ] 给出统一的、简洁的、本质的证明 .还可以削弱一些条件 ,例如不等式 (1 )转化为证明 :[cosλ(A B) - cosλπ]· [c…     

两个不等式的简单证明

本文给出Fan-Todd不等式和Halwka不等式简单证明.     

一个几何不等式的简单证明

最近,文献[l]、[2]中分别利用不同的方法证得如下一个几何不等式:     

两个不等式的简单证明

本文给出Fan-Todd不等式和Halwka不等式简单证明。     

两个不等式的简单证明

本文给出两个著名不等式FanTodd不等式和WJanous不等式的两个更加简捷的新证法,它们是本质的和颇富启发性的. (1) 著名的FanTodd不等式是Fan Todd在研究柯西不等式的逆向结果时建立的一个不等式,可表述如下: 定理1 (FanTodd不等式)设12(,,aaa= ,)naL和12(,,,)nbbbb=L是两个不成比例的实数序列,又设12(,,,)nxxxx=L是使得 10,niiiax== 11niiibx== 成立的任一实数序列,则 221niiAxABC=-, 其中22111,,nnniiiiiiiAaBbCab======邋? 文[1]给出了一个构造性的证明,本文再给出一种更加简捷的证法. 证明 ∵10,niiiax== 11niiibx==, ∴111()1…     

杨乐不等式之探究

杨乐不等式之探究山东滨州师专数学系赵长健李文荣§１引言我国著名数学家杨乐先生在文［１］中谈到他曾建立了如下一个不等式：若Ａ＞０，Ｂ＞０，Ａ＋Ｂ≤π以及０≤λ≤１，则ｃｏｓ２λＡ＋ｃｏｓ２λＢ－２ｃｏｓλＡｃｏｓλＢｃｏｓλπ≥ｓｉｎ２λπ．这一不等式...     

利用简单函数性质证明不等式

证明不等式是数学中的一个重要课题,而其中利用函数简单性质证明不等式的方法是一种基本方法。它既能加强对函数的认识,又能提高分析方法的技巧。     

一个不等式的两个简单证明

对不等式b＋m/a＋m〉b/a（其中a，b，m均为正数，b〈a）的证明，目前各杂志刊登了许多方法，如比较法、函数法、解析法、几何法等．本笔再提供两个简单的证明．     

杨乐不等式的进一步研究

本文继杨乐不等式证明之后,就推广、加强不等式等做了进一步的工作,并得到了一些新结果。     

一个简单不等式在证明数列不等式中的妙用

有些简单的结论,看似平凡,但却蕴藏着丰富的内涵,它们往往是某些复杂问题的原型,既具有典型性又呈现代表性．研究一些简单结论的作用,不仅可以得到一些问题的简捷思路,而且能开拓思维,提高解题能力．同时亦可实现会一题,通一类的目的．     

杨乐不等式的又一证法

设 A>0, B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则有: cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ≥sin~2λπ。（1） 此不等式是我国著名数学家杨乐教授建立的,证法较多。现给出这个不等式的一个浅显易懂的证法: 证明 构造不等式: x~2-2xcosλB·cosλπ cos~2λB-sin~2λπ≥0,（2） 与之对应的方程为: x~2-2xcosλBcosλπ cos~2λB-sin~2λπ=0,（3） ∴△=4cos~2λBcos~2λπ-4cos~2λB 4sin~2λπ     

一个简单结论在不等式证明中的妙用

关于指数函数有如下性质： 若0〈a〈1,则函数f（x）=a^x在R上是减函数． 这是一个平凡而重要的结论,在高中数学中几乎是人人皆知,然而就是这样一个简单的结论,在不等式的证明中有时会起到令我们意想不到的效果．下面举例谈谈这个结论的妙用,供参考．     

一个加强不等式的另一个简单初等证明

许多刊物出现这样一个不等式:若a b=1,a>0,b>0则3/2<1/(1 a~n) 1/(1 b~n)≤(2~n 1)/(2~n 1).曹学锋,汪飞老师在《数学通讯》2004(21)上给出了上式的高维形式:若x_1 x_2 …x_m=1,x_1,x_2…,x_m>0,则(m 1)/m<1/(1 x_1~n) 1/(1 x_2~n)… 1/(1 x_m~n)≤(m~(n 1))/(?)(其中m≥2,n≥2且m∈N,n∈R).     

二维柯西不等式的推广证明及简单应用

<正>定理若a,b,c,d都是实数,则(a²+b2+b²)(c2)(c²+d2+d²)≥(ac+bd)2)≥(ac+bd)²,当且仅当ad=bc时,等号成立。一、二维柯西不等式的课本证明证明:(人教A版31页)(代数法)展开这个乘积,整理得(a2,当且仅当ad=bc时,等号成立。一、二维柯西不等式的课本证明证明:(人教A版31页)(代数法)展开这个乘积,整理得(a²+b2+b²)(c2)(c²+d2+d²)=a2)=a²c2c²+b2+b² d2 d²+a2+a² d2 d²+b2+b²c2c²。由于a2。由于a²c2c²+b2+b² d2 d²+a2+a² d2 d²     

证明不等式

本文介绍了在中学数学教学中证明不等式的四种常用和五种特殊的方法,并对如何通过例题和练习题巩固所学知识、培养学生的推理论证能力,做了初步的介绍.