应用向量工具解决立体几何中距离问题

一、知识要点. ①点M0到直线l的距离设M0M⊥l,且l的方向向量为a,M1为l上的一点,并记M0到直线l的距离为c. 方法一由平行四边形的面积公式可得距离d=|a×(?)|/|a| 方法二若已知垂线M0M上的某一向量n,则距离d就是(?)在n上的射影长度,即d=|n·(?)|/|n|     

空间点到直线距离的几种求法

求空间点P_0(x_0,y_0,z_0)到直线a=(x-x_1)/1=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n(这里P_1(x_1,y_1,z_1)为直线a上的点,V={1,m,n}为直线a的方向矢量)的距离d,通常直接用距离公式d=|V×P_1P_0|/|V|。本文主要介绍异于用距离公式的几种方法。 设P_0(2,3,1)为直线a外的一点,直线a的方程为:(x 1)/2=y/(-1)=(z-2)/3 方法1 利用两点间的距离公式,只要求出过P_0点且与a垂直的平面与直线a的交点坐标即可。     

应用向量工具解决立体几何中距离问题

一、知识要点. ①点M0到直线l的距离 设M0M⊥l,且l的方向向量为a,M1为l上的一点,并记M0到直线l的距离为d.     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

平面法向量在立体几何中的应用(高二、高三)

1.求线面角、点面距思路1 如图1,设PQ与平面α的法向量n所夹的锐角为θ,则PQ与平面α所成的角为π/2-θ,点P到面α的距离图1 PH=|PH|=|PQ|cosθ. 例1 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E、F分别为A1D1、AB的中点,     

2014年高考数学必做客观题——解析几何

第1点直线方程及位置关系()必做1动点M(x,y)满足(x-sinα)2+(y-cosα)21/2=|xsinα+ycosα-1|(其中α为常数),那么动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线牛刀小试精妙解法动点M(x,y)的几何意义是到定点P(sinα,cosα)的距离等于到定直线l:xsinα+ycosα-1=0的距离,又P∈l,所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线.故选A.()必做2数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…     

求异面直线间距离的又一方法

求异面直线间的距离为高中《立体几何》的难点.有关书刊介绍不少方法.本文旨在利用三角形面积射影给出它的求法。为此,先证明下面的命题: 若异面直线a,b所在平面成θ度的二面角α-l-β,且B‖l间的距离为c,则异面直线a,b间的距离d=csioθ (A) 证明:设a∈α b∈β在b上任取一点P,作PM⊥l,PN⊥α,M、N为垂足连结MN,由三垂线定理的逆定理知MN⊥l     

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

数量积问题解题方略

数量积是平面向量的一朵奇葩,运算彤式有a·6=|a| |b| cos α(0≤α≤π)与坐标表示a·6=x1x2 y1y22种.其几何意义是:a·6等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.     

利用公式d=|·|/||求距离

“距离”是立体几何中的两大度量(即角与距离)之一,传统的解题思路是“一作、二证、三计算”.立体几何中的“八大距离”,除球面距离及两点间的距离外,其余六种距离都与垂直有关,即与点在直线或点在平面上的射影有关.但有时点的射影的位置难以确定,这给求距离时的作图带来了很大困难.在学习了空间向量后,利用向量的方法求距离可以大大简化解题过程.公式d=｜a粌·n粓｜｜n粓｜表示a在n上的投影的长度,可利用其求“八大距离”中的三个基本距离:点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离。一、求点到直线的距离求点P到直线b的距离:设A是…     

利用二次曲线准线解题

圆锥曲线的准线是一条重要的直线,利用它解题,有许多方便之处。 例1.已知点A(1,0)和直线L: x=3,若动点M到点A的距离为m,到L的距离为n,且m n=4,(1)求点M的轨迹,(2)过A作倾斜角为α的直线与M点的轨迹交于P、Q,设d=|PQ|=f(α),求f(α)的解析式。     

发挥向量在立几中的工具性作用

引入空间向量解决立体几何中的四大类问题 ,其独到之处 ,在于用向量代数来处理空间问题 ,淡化了旧教材的由“形”到“形”的推理过程 ,使解题变得程序化 ,降低思维难度 ,容易掌握 ,体现了工具性作用 .一、用向量解决平行问题的方法( 1 )设a、b分别是两条不重合的直线a、b的方向向量 ,则a∥b a∥b a =λb(λ∈R且λ≠0 ) .( 2 )设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,n是α的一个法向量 ,则l∥α a⊥n a·n =0 .设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,p、q是α内的两个不共线向量 ,则l∥α a =xp+yq(x ,y∈R ,x·y≠ 0 ) .( 3 )设m…     

一道点到直线距离题的多种解法

二册(上)17·3中例11(1):求点P(-1,2)到直线l:2x y-10=0的距离d.通过对点到直线距离的概念的理解会得到多种解法,其中本文给出以下几种.解法1:由点到直线的距离公式求解d=|2×(-1) 2-10|22 12=150=25解法2:由点到直线的距离的定义求解过点P作直线l的垂线,垂足为A,则直线PA的方程是:x-2y 5=0与2x y-10=0联立得x=3,y=4所以A(3,4)P到直线l的距离即为线段PA的长度PA=(-1-3)2 (2-4)2=20=25解法3:由点到直线的距离和两条平行直线间距离的关系求解过点P作l的平行线l′:2x y=0则P到直线l的距离即为l与l′之间的距离所以d=|0-(-10)|22 12=105=2…     

恰当类比得命题 巧用结论妙解题

在平面几何里，有点到直线的距离公式：“设点P(x0，y0)，直线l的方程Ax By C=0(A、B不全为零)，则点P到直线l的距离d=|Ax0 By0 C|/√A^2 B^2。拓展到空间，类比平面内点到直线的距离，研究空间内点到平面的距离，可以得到正确命题：“设点P(x0，y0，z0)，平面α的方程．     

此题推广后很有用(高二、高三)

题已知点A(1,0)和直线l:x=3,动点M到A的距离与到l的距离之和为4. (1)求M点的轨迹T. (2)过A作倾斜角为a的直线与T交于P、Q两点,设d=|PQ|,求d=f(a)的解析式. (第12届培训题78题) 解答见本刊2001年第1期27页,此处从略. 由题设及解答知轨迹为抛物线,A为抛物线的     

向量数量积的两个简单性质及其应用

<正>向量的数量积有两个简单而又有趣的性质,利用它们可以轻松地解决某些问题,下面就此作一些介绍.性质1(数量积不等式)|a·b|≤|a||b|.证明设向量a,b的夹角为θ,则|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.由于0°≤θ≤180°,故当且仅当θ=0或θ=180时,取"=".当θ=0°时,a·b=|a     

射影坐标与距离的新公式

1引言在欧氏空间R3中设任一直线与任一平面相交,其交点为O0（x0,y0,z0）。令过此定点的空间直线和平面的方程分别为射影是几何学中的重要概念之一。在解析几何的向量代数一章中只讨论向量在轴上的射影和一些性质[1],[2],在空间解析几何的部分公式的推导过程中只利用了有关射影知识,此外我们未见到关于射影坐标概念,例题和习题。本文利用向量法和矩阵的乘法,给出欧氏空间R3中的射影矩阵和点M到直线L（或Ⅱ）的距离的不同定义,并讨论了相关的性质。最后举例说明新公式的应用。2点在直线上的射影坐标与距离定义1空间中任一点M在直…     

立体几何中点的轨迹问题探究

<正>1轨迹为点例1已知平面α∥β,直线l?α,点P∈l,平面α,β之间的距离为8,则在β内到P点的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是().A.一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点解析设Q为β内一动点,点P在β内的射影为O,过O,l的平面与β的交线为l′,所以PQ=10,所以     

法向量在立体几何中的运用

在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距