关于矩阵迹的一个不等式

设A,B为n阶Hermite阵,X为任一n×k复矩阵,λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)依次表示A的特征值,得到了关于矩阵迹的如下不等式:|tr(X*ABX)tr(X*X)-tr(X*AX)tr(X*BX)|≤(λ1(A)λn(A))(λ1(B)-λn(B))/4[tr(X*X)]2,并利用所得结果给出关于矩阵迹的一些Kantorovich型不等式.     

利用二次型性质解一类数学竞赛题

定理对于n元实二次型f(x)=f(x_1x_2…x_n)=XAX,'λ_1λ_2λ…λ_n为A的全部特征值,那么min{λ_i}     

乘积矩阵正定性的讨论

引理1 n阶实矩阵A对称正定的充分必要条件是存在n阶实对称正定矩阵B,使得A=B~2.引理2设A是n阶实正规矩阵,且它的特征值都具有正的实数部分,则A为正定矩阵.定理1设A,B∈R~(n×n),若A是对称正定矩阵,且(AB)(BA~(-1))~T=(AB)~T·(BA~(-1)),则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值的实部大于零,即Reλ(B)>0.     

四元数矩阵的奇异值的几个不等式

本文证明了长方四元数矩阵奇异值的一些不等式:设H为四元数体,A∈H~(n×m),B∈H~(m×k),S=min{n,k},1≤l≤s,则 sum from i=1 to l σ_i(AB)≤sum from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅰ) sum from i=1 to l σ_s _(i+1)(AB)≥sum from i+j=m+s-l+1 σ_i(A)σ_j(B) (ⅱ) multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_(m-i+1) (B)≤multiply from i=1 to l σ_i(AB)≤multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅲ) 其中,σ_1(A)≥σ_2(A)≥…≥σ_m(A)≥0是A的从大到小的奇异值,当i>m时,σ_1(A)(?)0。不等式(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)包含或加强了文[3]、[4]、[5]的一些基本结果。     

矩阵与其伴随矩阵的特征值

讨论了n(n≥2)阶方阵A与其伴随矩阵A*的特征值之间的关系,利用A的特征值λ0及其代数余子式Aij给出了A*的特征值的表达式.     

一类有零迹的对称随机矩阵特征值反问题的可解性

谱σ={λ_1,λ_2,λ_3,0,….0}中至多有3个非零特征值λ_1,λ_2,λ_3,且λ_1≥0≥λ_2≥λ_3,λ_1+λ_2+λ_3=0,在某些特殊情况下,构造n×n阶对称随机矩阵使其以σ为谱的特征值反问题虽已解决,但当n是奇数时,以σ为谱的n×n阶对称随机矩阵是不存在的。     

实对称行列式表示的二次型的特征值与标准形

设n阶实对称矩阵B的特征值为λ1，λ2，…，λn，则二次型|X 0^B X^T|的特征值为λi'=-Πk=1,k≠i n λk，使B对角化的正交变换X^T=PY^T可使它简化为|Y 0^C Y^Y|,其中C=diag(λ1,λ2,…，λn).     

Wielandt-Hoffman定理的推广

本文推广了Wielandt-Hoffman定理,得到了如下的结果:设A,B,C均为n×n Hermite矩阵,它们的特征根(从大到小依次排列)分别为α_iβ_iγ_i,(i=1,2,…,n),(i)若B=C-A,则sum i=1 to n (β_i~2)≥sum i=1 to n(γ_i-α_i)~2;(ii)若B＝C+A,则sum i=1 to n (β_i~2)≤sum i=1 to n (γ_i+α_i)~2。     

?~n空间中两元素数字集的自仿测度的谱性

通过定义β_γ=P_(γ1)α_1+P_(γ2)α_2+…+P_(γn)α_n(γ=1,2,…,n),研究了■空间中一般整数扩张矩阵M,两元素数字集■,■所对应的自仿测度μ_(M,D)的谱性;当α是矩阵M的属于特征值l的特征向量时,其中■,若l是奇数,则空间■中至多有两个相互正交的指数函数;若l是偶数,则μ_(M,D)是谱测度.     

数学问题(九)

1.证明,八个相邻正整数乘积的四次方根必非整数,而它的整数部分是 x~2+7x+6,这里 x 是这些相邻整数的起始者.2.设 k 和 l 为给定的实数,对任意两个实数 a,b,定义运算 a_ob=ab+k(a+b)+l.试问这种运算满足结合律(a·b)·c=a·(b·c)的充要条件是什么?3.设 o<λ_1≤λ_2≤…≤λ_n,a_i≥0(i=1,2,…,n).证明不等式sum from i=1 to n λ_ja_i sum from i=1 to n a_i/λ_i≤1/4((λ_1/λ_n)~(1/2)+(λ_n/λ_1)~(1/2))~2(sum from i=i to n a_i)~2.4.作一凸闭曲线,它并非圆,但它的周长等于πD,这里 D 是它的直径,即它所围成的闭区域内两点间的最大距离.     

复正定矩阵行列式的广义Minkowski不等式

给出了n阶复矩阵的广义Minkowski行列式的两个不等式：Idet(A B）1α≥2-sa/2（IdetAα IdetB1α)，其中A是n阶复半正定矩阵，B是n阶正定Hermite矩阵，a≥1/n，S是B^-1A的复特征值的个数；Idet(A B)I。≥(IdetAI。 IdetBI。)，其中A和B是n阶复半正定矩阵，且它们的特征值全为实数，r([A，B])≤1，a≥1/n，改进和推广了已有的结果。     

应用《平均不等式》求极值应注意的几个问题

《平均不等式》是指:对任意的正实数α_i (i=1,2,…n),有 n~(α_1α_2…α_n)≤(α_1 α_2 … α_n)/n;其中等号当且仅当α_1=α_2=…α_n时成立。根据等号成立的条件,可以给出一个求函数极值(实际上是最值)的法则:对于任意的正值函数φ_i(x)(i=1,2,…n),     

Toeplize矩阵三角本原指数的性质及其缺数

讨论了Toeplize矩阵三角本原指数的两个基本性质:1)δ(A B)=min{δ(A),δ(B)};2)δ(AB)＝[(n 1)/(s t)].证明了n(n≥5)阶非负上三角Toeplize矩阵的三角本原指数集Sn均有缺数段{k 1,k 2,…,n-2}(共有n-k-2个缺数),其中k＝[n/2].     

矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件

证明了n阶方阵A的秩r(A)与其非零特征值个数μ(A)之间的关系:r(A)≥μ(A).得出了矩阵A可逆和矩阵A可对角化是r(A)=μ(A)的两个充分条件;矩阵A没有形如xm(m2)的初等因子是r(A)=μ(A)的充分必要条件.     

关于若干几何不等式的猜想的思考

1.引言 文[1]中,蒋明斌老师给出如下两个猜想: 猜想1、设P,P′为△ABC内两点,XA=PA,XB=PB,XC=PC,XA′=P′A,XB′=P′B,XC′=P′C,则 (扫:㈠):(x:xi·x/,L:xB·x/,A。xc,xc/)≥(1:l。a’*A。x,b’ h寸指;)其中λ_1、λ_2、λ_3∈R~ 猜想2,设λ_1、…、λ_n∈R~ ,P、P′为凸n边形A_1A_2…A_n所在平面上两点,则: (三札)(君:xiPAitP/Ai)≥:≤i乏,≤nx山4i厶i’ 1‘2, 文[2]中,林祖成给出如下猜想: 猜想3,四面体A_1A_2A_3A_4存在棱切球,内切球半径记为r,则:     

求二阶方阵方口的一个公式

我们知道，求一个方阵的n次方口，通常可以利用矩阵的相似关系，即谱分解定理来解决。此方法需要相当的计算量。本文将对二阶方阵n次方口的计算问题进行讨论，导出一般公式，简便运算。我们记数域P上所有二阶方阵构成的线性空间为P2×2，O是零元，正是单元。设A∈P2×2。定理1。如果A有两个互异的特征值λ1，λ2（λ1≠λ2）那么证明：n＝2，A2＝A·A根据归纳原理，命题成立。定理2若A有特征值八（二重很），那么，A”一＂Art－‘B＋A”E。证明：n＝2，A2＝A．A根据归纳原理，命题成立。以下用定理的方法求二阶方阵的几次方口。即A…     

2000年下半年全国高等教育自学考试高等数学(二)试题

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题干的括号内。每小题2分，共40分）1．三阶行列式＝（ ）。 ①63 ②70 ③－70 ④822．≠0是矩阵A可逆的（ ）。 ①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也非必要的条件3．设A为n阶方阵，则方阵（ ）为对称矩阵。 ①A－A′，A′表A的转置 ②CAC′，C为任意n阶方阵 ③AA′ ④（AA′）B，B为n阶对称方阵4．设A、B、C是n阶方阵，下列结论正确的是（ ）。 ①AB＝BC ②若A2＝0，则A＝0 ③A＋B＝B＋A ④若AB＝AC，则B＝C5．实二次型f（x1，x2，…     

关于关联矩阵的一个定理的证明

设S是一个以α_1,α_2,…,α_n为元的n集,且M(S)=(S_1,S_2,…,S_m)是S的子集所成的一样本,现今则 A=[α_(ij)](i=1,2,…m) j=1,2,…,n是m×n的(0,1)一矩阵,这个矩阵称为n-集之子集S_1,…,S_m的关联矩阵。在[1]中,有如下结论,我们写成: 定理:若将S的元和子集S_1,…,S_m重新编号,即S的元为α_(α1),α_(α2),α_(αn)     

树的Estrada指数的近似计算

设T是n阶的树,其邻接矩阵A（T）的特征值记为λ1,λ2．…,λn.Estrada指数被定义为EE（T）=∑^n1-1lλ1．由于矩阵的特征值很难计算,事实上。即使对于像A（T）这样的（0.1）一矩阵也很难计算,因此研究者对Estrada指数建立了许多的上下界．然而,那些界仅仅给出了一些相当宽泛的估计．本文对近似计算树的Estrada指数的一种组合方法进行了研究．     

二次曲线的一组统一性质

笔者最近得到了二次曲线的一组统一性质,现介绍如下,供读者参考.定理1 点 N(x_0,y_0)不在二次曲线 ax~2+by~2=1上,过 N 任作一直线,交曲线于 A、B 两点,交直线l:ax_0x+by_0y=1于点 M(异于点 A、B),设=λ_1,=λ_2,则λ_1+λ_2=0.证明:如图,设点 A(x_1,y_1)、M(m,n).由条件=λ_1知点 A 分向量所成的比为λ_1.