用正弦定理证明ab±cd=ef的关系式

用正弦定理证明形如ab+cd=ef的关系式,常改为证明ab±cd=1,再把等式左端改成a/e·b/f+c/f·d/e 这样的形式,尽量使两线段的比为同一三角形中两边之比,然后用正弦定理和其它公式进行化简,使得它的值等于1即可. 例1已知△ABC中,∠A的平分线交对边于D, 求证:AB·AC-BD·DC=AD2. 证明:如图一:     

一个面积问题的四种证法与两次推广

有这样一道题: 如图,AF=1/3AB,BD=1/3BC,CE=1/3CA, 求证:S_(△GHk)=1/7 S_(△Anco) 一、四种证法证法一(用梅耐劳斯(Menelaus)定理)直线 CGF交△ABD的各边AB、BD、AD(或其延长线)于F、C、G、三点,应用梅耐劳斯定理有 AF/BF·BC/DC·DG/AG=1即 1/2·3/2·DG/AG=1, ∴ AG/DG=3/4,AG/AD=3/7     

内分角线定理的推广及其应用

一、内分角线定理的推广当a=日时,sina二、i,‘日, 如圈,已知尸为△OAB的底边才B(所在直线)上任一点 (B点除外),尸AI,B0刀OB、承;八求证:尸A尸BOAsinaOB、1 np证明.’.S‘。A,=一蚤OA·O尸“ina S‘。:,=一杏OB·OPsin日又子:、 合.n.尸SonA,_S‘。、:,OAsinaOBsinp①士尸A·O尸。in乙A尸O于尸B·尸APBOPsin(180“一艺APO)②故内分角线定理是这一定理的特例,这一定理是内分角线定理的推J”。 二、应用 内分角线定理的推J“在儿何证题中,应用比较J、一泛,举例说明如下。 1.江线段相等 例1证明卜拉美古塔定理(Br“11 ma-g…     

梅涅劳斯定理在解竞赛题中的应用

我们先看下面的定理:定理一直线截△ABC三边所在直线于D,E,F,求证:BF/FA·AE/CE·CD/BD=1证明过C作CG//AB交DE于G,;乏G 刀F AE(】〕“.月了.〔厄’石石 月F AF(l子~入歹.之贾互.后了一1.B CD 这就是著名的梅涅劳斯定理:一条直图飞线截三角形的三边,得到的三组比的积为定值1.在数学竞赛中用该定理解有关的几何题,常显得巧妙、简捷,而且不需引辅助线.本文试用该定理解决一类竞赛题. 例1如图2,△ABC中,AD为中线,E为AD上一点,‘_1‘_.一,。一,nAE一言AD,AF一1·“cm·求AB. (2001年山东省初中数学竟赛题)一竞赛辅导一解△…     

圆幂定理在中考计算中的应用

圆幂定理是相交弦定理、割线定理和切割线定理的统称。由于定理的结论均为比例式 ,所以直接用于解比例问题是它们的共同特点。根据教学大纲中关于“圆幂定理应注重于其在计算中的应用……”的精神 ,为帮助学生掌握好这一重要内容 ,本文现以近年来部分省、市中考题为例分类说明如下 ,供学生学习和复习时参考。一、应用切割线定理解中考计算题例 1　如下图 ,PA切○· O于A,PBC交○· O于 B、C,PA=4 3,PC =12 ,则 PB=。 (2 0 0 1年吉林省中考题 )解 :∵ PA=4 3,PC=12 ,由切割线定理得 :PA2 =PB· PC,∴ (43) 2 =12 PB,∴ 4 8=12 PB…     

塞瓦定理的推广及其应用

意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面十分有用的定理:塞瓦定理.设X、Y、Z分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点,如果直线Ax、ByOZ共点,则BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1逆定理.设X、Y、Z分别是三角形三边BC、CA、AB上的点,如果BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1那么直线AX、BY、CZ共点。我们可将塞瓦定理推广到四面体中。定理1设E、F、G、H、M、N分别是四面体ABCD     

运用圆幂定理证明比例线段(等积式)

圆幂定理揭示了圆内的弦、割线及切线之间的关系，是证明比例线段（等积式）常用的重要定理．一、直接运用圆幂定理作等积代换证题例1　如图1，设AB为圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于E，AD⊥EC，交圆O于F，垂足为D，CG⊥AB，垂足为G．求证。（1）△ACG≌△ACD（2）BG·GA＝DF·DA．（1994年吉林中题）分析由△ACG≌△ACD有CG＝CD，而BG·GA＝CG2．因此要证BG·GA＝DF·DA，只需证CG2＝DF·DA．即证CD2＝DF·DA，这正是切割线定理．证明（1）连结CB，△ACG≌△ACDCG＝CD（证略…     

例谈切割线定理的妙用

平面几何中有切割线定理:如图1,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2= PB·PC;割线满足PA·PB=PC·PD;割线交于圆内     

切割线定理又一推论及应用

九年制义务教育教材《几何》第三册P_(121)介绍了切割线定理及推论,本人对推论进行探究可得如下的一个重要推论。推论:如图1,已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点作割线PAB,则PA·PB=PO~2-R~2 (*) 证明:延长PO交⊙O于E,则PE=PO R,PF=PO-R 由切割线定理的推论,得: PA·PB=PF·PE=(PO-R)(PO     

圆幂定理在解中考几何计算题中的应用

圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理．这些定理是圆一章的重点内容．应用圆幕定理进行计算的中考几何题十分常见,现分类举例如下．一、相交弦定理的应用例1如图1,①O;和①O。内切于点P,①OZ的弦AB经过OOI的圆心OI,交OOI于C、D,若AC：CD：DB＝3：4：2,则①OI与OOZ的直径之比为．（1998年,南京市）分析为引用相交弦定理,过切点P作①O。的直径叩,则O1、O。必在直径用上．设AC二3a,贝uCOI＝OID＝OIP＝DB＝Za．“．“01P·OIQ＝01A·OIB,’．2。·OIQ二5。·4。…OIQ＝10a,PQ＝12a…．0OI与0O…     

圆幂定理在解题中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论却称圆幂定理。在解有关圆的问题中，应用广泛、下面举例说明圆幂定理在解题中的应用．一、求线段的长树l如图1，在凸ABC中，AB=AC，／C”一72“．①O过A、B两点且与BC7相切干B．与At、交于D，连结BH．若BC一八一1．项gAC一．（1996年山西省中考题）分析由切割线定理知BC’一CH·AC，即AC·L4C－AD＞一DC’．又AD一AC，／C一72？一易得HI：）—BH一BC一八一1．…AC·（AC一八十1）一（人一1）2，ROHCZ－（八一1）HC－（八一1）2一0解得AC—2·二、求城段的比值例2如图2，PA是…     

一道国家集训队选拔考试试题的简证

20 0 2年 IMO中国国家集训队选拔考试的第一题是 :设凸四边形 ABCD的两组对边所在的直线分别交于 E,F两点 ,两对角线的交点为P,过 P作 PO⊥ EF于 O,求证 :∠ BOC=∠AOD.原参考答案 (见文 [1])运用了多条辅助线 ,证明较为繁琐 ,本文给出以下简证 :图 1证明　为书写方便 ,记∠ BOC,∠COP,∠POA,∠ AOD依次为∠ 1,∠ 2 ,∠ 3,∠ 4 .考虑△ EAD和截线 BCF,由梅涅劳斯定理得 EBBA· AFFD·DCCE=1. 1再考虑△EAC和截线 BPD,由梅涅劳斯定理得ABBE· EDDC· CPAPAFFD· EDCE· CPPA=1.故 1=AFFD·EDCE· CPPA…     

梅氏定理在三维空间的推广

平面几何中,有一个关于点共线的著名定理: 梅氏(Menelaus)定理设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA所在直线上的点(不同于顶点),则D、E、F共线的充要条件是: AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在同一个平面内,有人已将它的必要性     

关于“Menelaus”定理的进一步推广

在平面几何“三角形”一节中,“Menelaus”定理是比较著名的,它能解决某些比较复杂的比例关系.“Menelaus”定理是:若一直线和一个三角形的三边(或其延长线)相交,则每一边被此直线分成的二段的比的乘积为1. 即(AD)/(DB)·(BF)/(FC)·(CE)/(EA)=1     

梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…     

圆幂定理的功能与应用

相交弦定理及其推论和切割线定理及其推论统称为圆幂定理 .由圆幂定理的条件和结论可知 ,圆幂定理具有两个基本功能 :一是利用圆幂定理证明线段等积式 (或比例式 ) ;二是利用圆幂定理进行几何计算 ,即利用圆幂定理列出关于未知几何量的方程 (或方程组 ) ,然后通过解方程 (或方程组 )求得未知几何量的值 .例 1　如图 1 ,已知⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｐ在ＢＡ的延长线上 ,ＰＣＤ是⊙Ｏ2的割线 ,且ＰＣＤ经过圆心Ｏ2 ,ＰＥ切⊙Ｏ1于点Ｅ ,ＰＣ =4,ＰＥ =8.(1 )求证 :ＰＥ2 =ＰＣ·ＰＤ ;(2 )求⊙Ｏ2 的半径 .分析　 (1 )由切割线定理…     

巧用圆幂定理解题

我们已学习过相交弦定理和切割线定理.其实这两个定理可统一于下面的结论中.已知 P 为定点,⊙O 是半径为 R 的定圆,过点 P 任作⊙O的割线交⊙O 于 A、B 两点,边结 OP.求证:PA·PB=|PO~2-R~2|.     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

一个易被忽视的比值

如图,已知PT切圆O于T,PAB是圆O的割线,连结AT,BT.于是就形成了切割线定理的基本图形.很多同学一看见这个图形,就会立即想到结论:PT~2=PA·PB.而对AT/TB却不大注意.但是     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…