关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：     

神秘的“黄金分割”

一、“黄金分割”的由来很久以前古希腊学者欧多克斯(公元前 4 0 8～ 335)最早提出 :能否把一条线段分成两段 ,使其中较长的线段是原线段与较短线段的比例中项 ?人们经过反复的实践探索解决了这一问题。如图所示 ,取线段 AB,作CB⊥ AB使 BC=12 · AB,连 AC在 AC上取 CD =BC,在 AB上取 AE=AD,则 AE2 =AB· BE,下面用勾股定理证明这一结论。证明 :∵AC2 =AB2 BC2　 ( AD DC) 2 =AB2 BC2∵ AD =AE　 BC=12 · AB∴有 AE2 AE·AB- AB2 =0 ( * )∴ AE2 =AB ( AB- A E)=AB· BE人们把这个比称为“中外比”,后来…     

从不同角度探求一道试题的本质

2007年太原市初中数学竞赛第6大题是：如图1,已知AD为△ABC的角平分线,AB〈AC,在AC上裁取CE=AB,M、N分别为BC、AE的中点,求证：MN//AD．     

寻思维障碍 觅最佳教法

<正>一、试题呈现题目 (2021年安徽省学业水平考试第23题)如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连结BF.(1)求证：△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;     

从不同角度探求一道试题的本质

文献[1]中第6大题的试题是： 例1如图1，已知AD为△ABC的角平分线，AB〈AC，在AC上截取CE=AB，M，N分别为BC，AE的中点，求证：MN//AD．     

几何证明中的恒等变形

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛解答题第14题为：例1如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过点E作EF∥BC交CD于点F，设P为线段CD上任意一点．     

与弧的中点有关的两个基本图形及应用

一、基本图形 基本图形1：如图1,A、B、C为⊙O上三点,点D为BC的中点,过点D作直线AB、AC的垂线,E、F分别为垂足,则AE=AF,BE=CF,DE=DF,AB＋AC=2AE=2AF．     

一道数学竞赛题的多种解法

(1999年山东省初中数学竞赛)如图1,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已知AC：AB=R．求AE：EC．分析：由已知AC：AB=R,可求出BD：DC的值．根据Rt△ABD∽Rt△CBA,Rt△CAD∽Rt△CBA,可得AB2=BD·BC,AC~2=DC·BC,从而求得(BD)/(DC)=(AB~2)/(AC~2)=1/R~2,所以(BD)/(BC)=1/(1+R~2),然后再求AE：CE的值．我们知道要求比值,一般需借助于平行线,     

极端思想的运用(高二、高三)

1．在几何方面的应用例1 三棱锥A-BCD中,AB =AC=(13)~(1/2)/2,BC=CD=DB= 1,求AD的取值范围．分析如图1,设BC的中点为 E,连结AE、ED,易知     

赏析一道几何题

题目如图1,在∠ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．     

这道考题编得好

题目（2006年十堰市中考题）如图1，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2．ED=4．     

一道中考题的面积解法

题目:(2001年无锡市27题)如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连结CE,(1)略.(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BE/AE的值.     

用锐角三角函数证明几何题(初二、初三)

1．证两角相等例1 已知在等腰△ABC中,∠A=90°, 在AC上取AE=1/3AC,在AB 上取AD=2/3AB,求证∠ADE =∠EBC.(04年福建南平中考) 图1 证明如图1,设∠ADE=a,∠EBC= β,AE=BD=a,则 AD=EC=2a,AB=AC=3a, 作AP上BC,EF上BC,P、F分别为垂足, 则 EF∥AP, 所以 EF/AP=CE/CA=2/3,     

四边形单元测试题

(时间:100分钟总分:120分)姓名分数一、坟空班(每小厄4分.共4O分) 1.如图1，AB// DC，AD// BC，如果乙B=500，那么乙D= 2.若菱形的两条对角线的长分别为6和则这个菱形的周长是3.已知矩形的面积是48 cm2.一边长与一条对角线长的比为3:5 4.在直角梯形，则矩形的对角线长是_. ABCD中，AB// DC，AD=13，AB=16较短的腰BC=12.则C刀= 2\一3图飞一图5.如图2，梯形纸片ABCD，乙B=6O。，AD// AB=AD=2，BC=6.将纸片折益，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE二_. 6.如图3，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼出不同形状的四边…     

直观想象“破茧” 推理运算“成蝶”——对一道中考试题的深度分析

<正>一、试题呈现(2021·安徽第23题).如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连结BF.(1)求证：△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求BE∶CE的值.二、基于核心素养的试题评价1. 图形似曾相识,     

2005年12月号“数学潜能知识竞赛”获奖名单

问：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD＋BC，E是CD的中点，试问：（1）AE与BE垂直吗？（2）AE、BE分别平分∠BAD及∠ABC吗？请说明理由．     

举一反三 一题多变

题目 已知：如图1，四边形ABCD中，AD／／BC，点E是CD的中点，连结AE，BE，AD BC=AB．求证：∠1=∠2，∠3=∠4．     

一道中考几何题的多种解法

题目如图1,在梯形ABCD中,AB//CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点．求证：CE上BE．（2008年山东日照）     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

“黄金分割”的自述

我的姓名可好听啦,姓“黄金”,名“分割”,人们叫我“黄金分割”.其实,我这美妙的姓名,是有来由的.很久以前,古希腊学者欧多克斯(公元前408一前355年)最早提出:能否把一条线段分成两段,使其中较长的线段是原线段与较短线段的比例中项.人们经过反复实践,解决C了这一问题.如图1,取线段AB,作CB⊥AB,使 BC=1/2AB,连AC,在AC上取CD=BC,在AB上取AE=AD,则 AE~2=AB·BE,并用勾股定理证明了这个结论.证明∵(AD+DC )~2=BC~2+AB~2AD=AE.DC=1/2AB.AE~2+AE·AB-AB~2=0,………… ①AE~2=AB·(AB-AE)=AB·BE.由①得 AE=(?)·AB(只取正数).∴AE/AB≈0.618∴AE/AB≈0.618.