轴对称思想的应用(初二、初三)

例1要在河边l修建一 个水泵站,分别向A、B两村送 水,水泵站应修建在河边的什 么地方,可使所用的水管最短? 分析要解决这个问题, 找出点A关于直线l的对称点 解因为菱形是轴对称图形, r.r龟;产︸、J︸连人 了tlnf下‘‘一谧 A‘,连结A,B交直线l于点尸,则点P就是到A、 B两村庄的距离之和最短的点的位置. 理由根据轴对称的性质可知 尸八产一只今, 所以了姚十尸刀一尸A‘ 尸B一刀A‘. 如果另外任选一点尸:(异于P),连结尸,A、 尸,B、尸,A,,则有尸IA一尸IA‘; 在△尸zBA‘中, 尸,A, 尸,B>B八‘一尸八‘ 尸B一尸八十尸刀, 即尸;A 尸,B>…     

“两点之间线段最短”在初中数学解题中的应用

例题如图1公路同侧有两个村庄A、B, 要在公路上建造车站尸,使尸到A、B的距离之 和最短,问车站P应建在何处? 分析:间建在何处 线路最短,即在公路上 求一点,使到A、B的距 离之和最短.由于两点 之间线段最短,但直接 夕 李 连结显然不妥,这是由于A、B在公路的同侧, 因此我们设想:将A、B两点转换成在公路的两 侧,这显然能找到尸点,所以只须利用对称,取 点A的对称点A‘,连结A‘B与公路交于点P,尸 即为车站的位置. 解此题的原理就是“两点之间线段最短”. 这个原理在初中数学解题中有着广泛的应用. 一、在几何中的应用 1.含有一个动.点,求线…     

张角公式在平几证题中的应用

一、张角公式 已知尸A,尸B,尸C三条射线,且匕APC二a,/C尸B=声,艺APB二a+刀<1800.则A,B,C三点共线的充要条件是sin(a+刀)_sinaPC尸B5 in刀尸A(1)证召乙尸月B如图1,如A,B,C共线,则二S△,,。+S占,c,,即1 oJ。。_.,.。、,汽尸f八.fU吕In气口+P)乙一合pA·尸Cs‘”“·PB sin刀.同除以工pA. 艺PB·尸C即得(1). 反之,如(1)成立, 图反推可知刀八尸j刀S△月刀口=S八尸摊口+召。尸e刀s。一s一:·…!=。 故A、B、C三点共线. 二、应用 例在二ABC的边CB,CA上,各向外作正方形CBRS,CA尸口,作CH止AB.求证:CH、BP、AR三线共点.(图…     

平移距离为什么要等于桥宽

这是八年级数学教科书上的一道习题:如图1,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?注意,桥必须与街道垂直平.移法:如图2,将点A沿竖直向下的方向平移,平移距离等于桥宽,到达A1点,连结A1B,与街道靠近B的一侧交于点B1,过B1点建桥即符合要求.那么,平移距离为什么要等于桥宽?先看一个最简单的问题,如图3,公路同旁有A、B两个车站,在公路L旁修建一个加油站,使得加油站到A、B两个车站的距离之和最短.作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交直线l于点P,点P的位置即加…     

湖北卷

1.设过点尸(x，刃的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点尸关于y轴对称，O为坐标原点，若刀尸一21竹，且〔p·八刀一1，则尸点的轨迹方程是() (A)3X2+普，2一1(X>。，，>。). (B)3X2一号yZ一1(二>o，，>。). 1.，，._、、._，，_.，、、._、数了一:-二二二，就得到一个如下所示的分数三角一(n+1)c二‘”一”一形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可_.‘，_1 .11‘，_以有出丁一一丁，下罗二十:---尸二甲二二-一二二，-，共甲x扭十1)七石Ln十1)试成尹卜1 1 .1 .1 .1一—·令“一言+在十俞十俞+…十1 .1一二二…     

06年中考数学模拟试题(5)

1.下列式子结果是负数的是(). (A)一}一3}.(B)一(一3). (C)(一3)“.(D)3一2. 2.以下14个汉字中，是轴对称的汉字共有 )个. 。回困倡豁会皿 四回印甲出回周 7.如图2，点O是等边三角形尸QR的中心， P’、Q’、R’分别是O尸、〔观、〔双的中点，则 △P’Q，R‘与△矛叼尺是位似三角形.此时， △P’Q‘R‘与△尸QR的位似比、位似中心分别 为() (A)2、点P. (B) 1 2、‘ 奴尸. 产。 (A)8.(B)9.(C)10. 3.为了打造城市“绿洲”，某市 计划在金鸡湖边一块如图1所示的 三角形空地上种植某种草皮以美化 环境，已知这种草皮每平方米售价为 a元…     

用张角公式证三点共线

本文介绍张角公式及其在平几三点共线证明中的应用. 张角公式如图,巳知由点尸发出的三射线为尸A、尸B、尸C,且乙A尸C=a,匕CPB==口,艺APB=a 口<1800,如果 sin(a,口)_sina、sin刀。,,,。。一二一竺共器井‘=‘认等 竺若二犷,则A、C、B三点 尸C尸B’尸A,,:一、一、一一二sin45。 1.sin45。甲‘一二F-=创兰 2训百=3侧2 2sin乙MAB_sin乙MAQ AQ一一ABsin乙QAB AM共线。 证明,J,/八怜\\二sin(a 口) 尸Csin吞万万’故B、Q、M三点共线。 例2已知AB是圆的直径,尸A、尸C是圆的切线,A、C为切点。作C刀一l一且B于D,设O为CD的中点,尸…     

几何趣题一则

片圆规按定理所述过程作一系列李圆,会得到有连的结果(如图).定理以,七半径你。O,,乡全别以CO‘上任三点为圆心作④02,两相交问三个交点分从⑤03,0口。,两贝}!①0,,①O。, 欲证定理,007红为05,O,O,,1f须如下一些命题: (1泛_入ABC脚垂心儿万,外心为O,A‘是O关于BC的对称点,贝d尺万二OA,。 (2):(i:.(1)中,AC,且刀的对你点,再设召’,C’是O分别关于知j二、A‘召,C,望乙\A力C,且O,H厅别是△且‘B‘〔’阴垂心和外心. (3)在(2)L卜,,亡、A召C,△石了了C,△C万且,△A万乌三犷了Cl,△尸。口,△C‘口A‘,△挂‘口召,外按圆相等,且圆心…     

借用平面几何知识巧解立体几何题一例

题:△尸AB在平而a内的射影是△QB刀(图1),试比较匕且尸B和乙AQB的大小。 凭直观想象,一这结论对不对?是否还有其它情况呢?木文就此作一个而探讨。 ]。、场匕刀Q召为90“时,有JQ’十BQ“=、1刀“。 在△I〕、更I了,},,Ll1余弦定卫},般认为乙A尸B<乙刀QB。(图1)份念中学数单教学1992年第6期‘05乙且I,IJ二l少妊I:卜尸刀, 2尸‘理.P‘护l少艺、.AO: BO,一只B“_。二。z尹一一一下万一石一.函—石-认--一U,J:t 乙才J了气.广尹万匕A尸B为锐角,:.匕A尸B<乙A OB。 2.当艺AOB为钝角时,用上述方法已无法比较,只好另辟途径。班刀方…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

数学问题与解答——1986年第4期问题解答

101 .AB是Rt△通刀O的斜边,在射线AC、BC上各取一点B‘、A,,使得A/B二AB‘=AB .P、Q是形内两点,若P、Q到Rt△ABC各边的距离之和相等,则尸Q//A,B‘.反之亦 (1)由P、Q到}饥△ABO各边距离之和相等,不难推得QM一)u夕十几v,即然“=(阮一cy) 、,,一兴欲.PM二。二一。.全竺二二二二互.     

数学问答

豁 12.如图，已知点P(4，O)是 圆:尹 犷一36内一点，A、B为圆 上任两点，且A尸土B尸于尸，求矩 形A尸BQ的顶点Q的轨迹方程. (河南宋刁、苗) 解:设点Q(x，y)，点 A(二:，y)，点B(二:，yZ).由题意知: 对 丈一36， 邓十买一36. 了，十八 加 必 72. 一工十4 一y 今式 式 叫 丈一 净     

探索三角形全等的条件检测题

一、坟空题1.判定两个三角形全等,必须具备件是个条件,其中至少有A个条河’2.如图l,A召//A‘B,,AC//A’C‘,AB=A’B,.若乙A二28“,则乙A’=_. 3.在△ABC和△DEF中,AB二刀E,乙A=乙D,AC二DF,则根据判定方法可以说明△ABC望△刀EF. 4.如图2,△ABC是不等边三角形,DE二Bc,分别以点D、点E为顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.△二B CB‘C,图1月少。_ Ec月毛.,.!﹄口J.,乙口D尸.、门、︸rL,﹄洲︸、目口5.如图3,BC平分乙ABD,AB=刀刀,P为BC上任意一…     

1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

数学奥林匹克高中训练题(2)

第试 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.已知△ABC的三边a,b,。成等比数列,a,b,‘的对角依次为艺A,乙B,乙C.则51:、B+eosB的范围是().(A)(C)〔令 /万_1十-不厂一J 乙(B)(1,了丁〕(1,l+卒;(n) 乙〔令丫厄甲〕 2.在120。的二面角尸一a一Q的两个面尸和Q内分别有点A和点B,已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4,且线段AB~10,AB和平面Q所成的角为a.则().(A)(C)。一ar。·in(告福)(B)一晋·一ir玉守(D)以上都不对3.函数,一二一3aresi。粤(x“+4二+5) 白的值域是(). ﹃J沁一2汀一2 一 尸|一 B 脑一2(A)〔一要 乙份](C)〔于(D)〔要 …     

四点共圆的一个必要条件及其应用

本文介绍四点共圆的一个必要条件,并证明:如图3,设匕且O刀二a,j一公例1对其在平几证题中的应用作一初步的探讨.得: 定理若P,A,B,C为00上的顺次四点,乙ApB二a,乙BPC=刀,那么 尸Asin夕十PCsina二尸Bsin(a 夕). 证明:如图1,连结AB,BC,CA,;一杰之\厂了臂_/介丫“_、}厂\飞‘(了务杆     

楼梯回廊的位置 北师大版七年级

【题目】如图2是一层楼的楼梯ABC的剖面示意图.请你用学过的数学知识解释,为什么楼的每层楼梯ABC往复转折处的回廊BD都在每层楼高EF的中间位置. 【解答】 如图3,过回廊BD的端点B作AF的垂线l,并作点A关于直线l的对称点Q,连结QC交直线l于点尸,连接A尸,过点C作CN垂直于l,垂足为点N.走廊C :.匕CPN~/Q尸M,艺AMP一匕CN尸一900,因走廊的宽度相同,则CN~AM. 由轴对称性质可知A尸~QP,AM~QM,匕A尸M~匕QPA了,.’.△C尸N望△QP从。!{,·:认l 岑丈二甲.‘.飞iv、,蒸之fi::...-.:..:::::、、_AM{叼图3 .’.尸N一尸M,C尸一尸Q,即尸…     

对一个最优化问题的再探讨

题目如图1,A村和B村都在一条河流的同侧,已知A村到河流l的距离为1 km,B村在A村的北偏西60°方向,A、B两村相距2km.现要在河流l某处修建一个水站向两个村供水,水站建在哪里,可使得往两个村铺设的管道长之和最短?求出此时的最短距离.作法1:如图2,作点B关于直线l的对称点B′,连接B′A,交直线l于点P,则水站建在点P处,可使得往两个村铺设的管道长之和最短.     

三角函数能力训练

一、选择题1.函数y一4‘。之二斗4‘。二一2的值域是((A)〔一2,6〕,(B)〔一3,6〕(C)〔一2,4〕(D)〔3,8〕下列函数中,哪一个既是区间(。,粤)上的增函 ‘┌───┐│一2火 │└───┘数,又是以二为周期的偶函数((A)y一尹(C)夕=cosZ呈(B)少二】sinx(D)y~e“凡J3.已知:a、月均为锐角,p=cosa·cos口,、一。052掣那么尸,Q的大小关系是( 乙‘A)尸Q(D)P)Q 4·tg“和tg‘于一“,是方程,XZ p了 、一。的两根,则P、q之间的关系是() (A)P一叮十l=0(B)P 叮 1=o (C)P 叮一l=0(D)P一夕一l一O 5.设a、刀是锐角三角形的两个内…     

多面体与球

一、选择题 1.在棱长为“的正方体内有一个内切球,过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,该直线被球面截得所在球内的线段的长为().A.、一1)a B.争c.夺D.争所有棱长之和的最大值是 9.已知正方体ABC公AIBIQDI的棱长为1,点A关于直线A,C、BDI的对称点分别为尸、Q,则尸、Q两