复合函数外函数求解问题质疑

一、问题的提出 中师五年制现用大学专科小学教育专业教材《数学分析》中有这样的一个关于复合函数的习题:已知:f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),求:f(x)。习题的答案是:f(x)=x~2-2。 这里,就本题及所给答案,提出问题如下:问题一,答案中f(x)=x~2-2这个函数是定义在哪儿的?当我们用变量代换方法或其它方法解题时,从解题过程来分析,可以得到的答案应为:f(x)=x~2-2,|x|≥2;问题之二,与函数x (1/x)复合可以得到结果x~2 (1/x~2)的外函数是否唯一?若设f(x)=x~2-2,|x|≥1,则有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),其实,对函数f(x)=x~2-2 |x≥2,g(x) |x|<2(其中g(x)是任意函数)而言,显然都有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),可见,满足条件的函数f(x)不唯一。综上可知,习题的答案并不确切。下面,我们对此进行较深入的剖析。     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

一类特殊的五次方程的解法

正2013年北大百年数学体验营的最后一道试题是求一个五次方程的根,能够处理出来的同学很少,本文给出该题的一个构造解法,并对此类方程作一个拓展.问题:求方程x~5+10x~3+20x-4=0的所有根.解:记f(x)=x~5+10x~3+20x-4,贝f(x)=5x~4+30x~2+20     

例析应用待定系数法解数学题

例1分解因式:x~5+x+1.分析∵x~5=x~4·x或x~5=x~3·x~2,如果能分解成一次因式,那么一次因式应是(x-1)或(x+1).而f(1)=3≠0.f(-1)=-1≠0,因此,原式不可能分解成一次因式和四次因式的乘积,只能分解成二次因式和三次因式的乘积.     

培养学生逆向思维的途径

1利用概念教学,渗透逆向思维例1已知函数f(x)=(m-1)x~2- mx 2是偶函数,比较f(0．75)与f(a~2-a 1)的大小．解：由f(x)=(m-1)x~2-mx 2,得f(-x)=(m-1)x~2 mx 2．又f(x)为偶函数,所以(m-1)x~2-mx 2：(m-1)x~2 mx 2,则m=0,所以f(x)= -x~2 2．所以f(x)在[0, ∞)上为减函数．又a~2-a 1=(a-0．5)~2 0．75≥0．75,所以f(0．75)≥f(a~2-a 1)．     

利用辅助函数解一类最值题

1、问题的提出 1·1 已知f(x)=(x~2+5)/[(x~2+4)~(1/2)] 求f(x)的最小值 1·2 已知f(x)=x+3+1/(x+3)(x≥2)求f(x)的最小值     

关于函数奇偶性的一点注记——兼对一道习题的建议

《全日制十年制学校高中课本·数学》第一册p.39页习题二中有这样一道题目: “下列函数哪些是奇函数、偶函数?哪些不是奇函数也不是偶函数? (1) f(x)=5x+3;(2) f(x)=5x;(3) f(x)=x~2+1;(4) f(x)=x~2+2x+1;(5) f(x)=x~(-2)+x~4;(6) f(x)=x~(-3)+x。”易知(2)(6)是奇函数,(3)(5)是偶函数,(1)(4)不是奇函数也不是偶函数。但是对于任何一个初等函数是否仅为以上三种类型呢?根据函数的奇偶性。一个函数可以     

课本变式题库

高中部分 题 求函数y=(x~2 10)/(x~2 9)~(1/2)的最小值,并对有无最大值作出解答.解:由y=(x~2 10)/(x~2 9)~(1/2),得y=(x~2 9)~(1/2) 1/(x~2 9)~(1/2)设t=(x~2 9)~(1/2)(t≥3),则y=f(t)=t 1/t(t≥3).设3≤t_1相似文献   

奇函数在竞赛中的妙用

在数学竞赛中,许多方程问题都是通过构造函数而解得．本文通过几个实例,给出根据题目特征构造奇函数来解竞赛题的方法．例1设f(x)=x~3-3x~2 6x-6,若f(a)=1,f(b)=-5,则a b=( )     

求函数表达式杂例一束

本文介绍求函数f(x)的表达式的几种方法,目的在于使学生深刻理解函数的定义,熟练掌握解题时常用的数学方法,以发展学生的思维能力。例1.(变量代换)已知二次函数f(x),满足f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x,求f(x)的表达式解f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x=1+1/x~2+1/x,     

如何求定义域

已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],求函数f(x~2)的定义域.错解1:由0≤x≤9,得1≤x+1≤10,则0≤lg(x+1)≤1,故函数f(x~2)的定义域为[0,1].     

导数应用的常见错误

一、混淆曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的切线例1已知曲线y=f(x)=(1/3)x~3上一点P(2,8/3),求过点P的切线方程。错解:f′(x)=x~2.设过点P的切线的斜率为k,则k=f′(2)=4.     

苏教版《数学》必修1第2章中两道习题结论的推广

题1对于任意的x~1,x~2∈R,若函数f(x)=2~x试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小关系.结论f(x_1) f(x_2)/2≥f(x_1 x_2/2)(当且仅当x_1=x_2时取"=");题2对于任意的x_1,x_2∈(0, ∞),若函数f(x)=lgx,试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小.     

克朗奈克方法

一般《高等代数》教科书,只介绍艾森施但因(EiSonStein)判别法.但艾森施坦因判别法,有一定的局限性.对于有理数域上的多项式f(x),如果能找到一个素数p,满足三条件,固可断定f(x)在有理数域上不可约.反之,若不存在(即找不到)一个素数p满足三条件时,则既不能断定f(x)为不可约,也不能断定f(x)为可约.两方面的实例都可以找得到.例如对于x~5+x~4+x~2+x-4找不到一个素数P满足三条件((1,0,1,1,     

第19届全俄中学生数学奥林匹克

九年级 9.1.已知n是自然数,且2n 1与3n 1都是完全平方数,对此n,5n 3能否是质数? 9.2.长为1的两条线段相交于点O,且∠AOC=60°。证明:AC BD≥1。 9.3.设f(x)为二次三项式,可用三项式x~2·f(1/x十1)或(x-1)~2f(1/(x-1))来替换f(x)。问:用这两种运算能否从二次三项式x~2 4x 3得到二次三项式x~2 10x 9?     

函数问题的非常规解法

1．奇偶性的应用题1函数f(x)=1 (2x~3 2x sinx)/(x~6 x~4 x~2 cosx)最大值为M,最小值为m,则M m=___．分析先求出M与m不可行,而用导数法也不易求得f′(x)．因为[f(x)-1]为奇函数,则M-1=-(m-1),所以M m=2．     

多项式f(x)=sum from i=0 to n(x~i)在Q上的可约性初探

在有理数域Q上的多项式,由艾轰斯坦因判别法证明了分园多项式x~(p-1) x~(p-2) … x 1(P为素数)在Q上不可约,我们自然会想到一般的f(x)=x~i=x~n x~(n-1) … x 1的可约性,这里有两个问题值得研究:(1)是否只有当f(x)为分圆多项式时才不可约?(2)当f(x)可约时,如何在Q上分解为不可约因式之积;关于问题(1)我们首先引入下面的命题。     

初等函数综合训练

一、选择题1.若 f(x)是奇函数,且 x>0时,f(x)=x~2+sin x,则 x<0时,f(x)的表达式是( ).A.x~2+sin x B.-x~2+sin xC.x~2-sin x D.-x~2-sin x2.若 f(x)=(m-1)x~2+2mx+3是偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( ).A.增函数 B.减函数C.增减不定 D.无法确定其增减性3.已知 a>b>c,a+b+c=0.当0相似文献   

求函数解析式的几种方法

一、配凑法。已知f[φ(x)],求f(x)可用此法。例1.已知f(1-x~2)=(1-x~2)/x~2。求f(1/2)。     

函数单调性解数学题常见类型解析

单调性是函数诸多性质中的重点性质,应用极为广泛.在求解数学问题时,如能挖掘潜在条件,恰当地构造出相应的单调函数,以其为工具,常能获得出奇不意的效果.一、求值问题例1设实数a,b满足条件a~2-3a~2+5a=1,b~3-3b~2+5b=5,求a+b的值.解由已知条件式的特征,构造函数f(x)=x~3-3x~2+5x,则知f(a)=1,