对数列求和问题的探讨

在高中数学教学中对于1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^21/6n（n＋1）（2n＋1）这道题是用数学归纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢？回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题．     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

一元二次函数解题一例

先让我们欣赏如下的一个算术题：10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2/365=？ 这是一个很有趣的题目，出现在俄罗斯著名画家波格达若夫·贝尔斯基的一幅画中．画的名字叫《一道难题》．这幅画作于1895年，画中描绘的是当时著名的数学教授拉欣斯基正在给学生们上课的情景，呈现在课堂上的是上面的那个算术题．     

一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广

赛题 正实数a,b,c满足abc=1,求证： 1/a^5（b＋2c）^2＋1/b^5（c＋2a）^2＋1/c^5（a＋2b）^2≥1/3. 这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题,     

一道代数题的几何解法

题 计算：1/2＋（1/2）^2＋（1/2）^3＋（1/2）^4＋（1/2）^5＋（1/2）^6＋（1/2）^7＋（1/2）^8＋（1/2）^9. 这道题如果用高中的知识,就是一道等比数列求和问题,按照等比数列求和公式可以求出结果．可是初中学生没有学过等比数列,更不会利用等比数列求和公式去计算．这里我们采用数形结合的思想,用几何的知识巧解这道题．     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

对2008年一道数学高考题解法的探究

2008年浙江省高考理科数学第22题：已知数列{an},an≥0,a1=0,an＋1^2＋an＋1—1=an^2（n∈N^＊）．记：     

名画的启示

波洛丹诺夫&;#183;别列斯基是俄国著名的画家．他的名画《难题》上画的是一群学生围着一块黑板上的“难题”在抓耳挠腮地冥思苦想．这个难题是要求用口算很快地求出（10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2）&;#247;365的结果．     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

正多边形的内切圆和外接圆的一些性质——一个问题的求解、引中与推广

1 问题的求解 《数学通报》2006年10月号问题第1637题：P是正△A1A2A3的内切圆⊙O上任一点，P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3．问：当P点位置变化时，d1^2＋d2^2＋d3^2是否为定值？d1^4＋d2^4＋d3^4是否为定值？说明理由．[第一段]     

一道高考压轴题的推广

2009年高考数学江西卷文科第22题： 如图1,已知⊙G：（x-2）^2＋y^2=r^2是椭圆x^2/16＋y^2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点．     

一道世界数学团体锦标赛试题的全方位探讨

2011年世界数学团体锦标赛青年组个人赛第三轮第12题： 若椭圆x^2/m＋y^2/n=1和双曲线x^2/p-y^2/q=1（m,n,p,q∈R^＋）的公共焦点为F1,F2,M是两曲线的一个交点,且｜MF1^→｜·｜MF2^→｜=1,求1/2n＋2/q的最小值．     

关于两道数学竞赛题的探究

题1 设a、b、c是正实数．证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8.     

奇偶分析法另解08年联赛题

题目 设a为质数,b为正整数,且9（2a＋b）^2：509（4a＋511b）,求a,b的值．（2008年全国初中数学联合竞赛试题第二试（A）第3题）     

一道高考题的探究与推广

问题：（2007年高考理科数学全国卷Ⅱ第12题） 设F为抛物线y^2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若^→FA＋^→FC^＋→FC=0,则｜^→FA｜＋｜^→FB｜＋｜^→FC｜=（ ）.     

一组不等式的简明证法

设ｘ,ｙ,ｚ∈Ｒ＋,证明：ｙ２－ｘ２ｚ＋ｘ＋ｚ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋ｘ２－ｚ２ｙ＋ｘ≥０．此题就是著名的Ｗ．Ｊａｎｏｕｘ猜想,最初发表在加拿大《数学难题》杂志上,Ｗ．Ｊａｎｏｕｘ本人没能证明,后作为数学难题先后被我国《数学通讯》、《中学数学》等杂志转载,引...     

一道日本奥赛题的推广

日本奥赛题：已知a、b、c为正数,求证：（b＋c-a）^2/（（b＋c）^2＋a^2）＋（c＋a-b）^2/（（c＋a）^2＋b^2）＋（a＋b-c）^2/（（a＋b）^2＋c^2）≥3/5 这道奥赛题是个热门题,很多人有过证明,但都过于繁杂,本推广证明简单并有一定的解题参考价值     

一道竞赛题的研究性学习

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有如下一道不等式题． 问题1 已知正数x、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：27/4（x＋y）（y＋z）（z＋x）≥（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≥6√3.     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.     

“积化和差”公式在数学竞赛中的应用

由（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2,① （a-b）^2=a^2-2ab＋b^2,② （①-②）÷4得ab=1/4（a＋b）^2-1/4（a-b）^2．由该式可把两数之积化为这两数和与差的形式．现举例说明其在数学竞赛中的应用．