高等代数教学中关于“矩阵对角化”的一点注记

矩阵对角化是高等代数中的基本内容,也是学习近世代数等后继课程所必须掌握的重要知识点之一.结合在高等代数教学过程中的体会,介绍了矩阵对角化的基本结论、矩阵对角化在矩阵计算等方面的应用和一类矩阵的对角化.对于不能对角化的矩阵,给出了化为“上三角矩阵”的条件.     

关于局部双对角占优矩阵的注记

分析了文献[1-2]中局部双对角占优矩阵的定义,指出了文献[1-2]中结论与其他相关文献的联系.同时,给出了广义严格对角占优矩阵(非奇异H矩阵)的若干充分条件.     

矩阵对角化与循环矩阵

循环矩阵可对角化，矩阵可对角化等价相似循环矩阵     

关于实反对称矩阵对角化问题的讨论

文章首先给出了实反对称矩阵特征值和特征多项式的一些性质,然后证明了任何复数域上的矩阵都酉相似于上三角矩阵,最后利用此结论以及正规矩阵,证明了实反对称矩阵相似于对角矩阵.     

关于λ-矩阵化标准形的注记

在现行的线性代数教材中，通常采取寻找各阶子式的最大公因式的方法确定不变因子，此方法学习之初较难掌握，之后凭借经验判断，缺乏规律性。此外，由于在每一轮初等变换之前无法预知下一个不变因子，亦使得变换过程存在盲目性。本介绍了一个简易的预知不变因子的方法，即在每一轮初等变换前，在右下角的的子阵中寻找其各一阶子式的最大公因式，此即为下一个不变因子。中给出了上述方法的证明和两个算例等。     

“实对称矩阵可以对角化”定理新证

高等代数中的“实对称矩阵可以对角化”定理,在高等代数二次型的讨论和高等几何二次曲线的研究中都起着重要的作用。为了加深对这个定理的理解和便于应用起见,这里对该定理将作另一证明。预备定理一 n 价实矩阵是正交矩阵的充要条件是:矩阵的列(或行)向量是一个标准正     

一类特殊矩阵的对角化问题

本文主要讨论只有两个特征值的矩阵可对角化的判别方法,并给出求可逆矩阵T,使T-1AT为对角矩阵的简单构造方法.么     

关于矩阵初等变换运用的一则教学注记

现行理工科线性代数教材中常见有以下类型的习题或例题:已知有六个四维向量:a_1=(2,3,3,5)a_2=(5,0,6,5)a_3=(-1,11,1,10)a_4=(0,-5,-1,-3 ) a_5=(4,11,7,7)a_6=(0,10,2,7)试求由a_1、a_2、a_3、a_4、a_5、a_6所组成的向量组的秩及一个极大线性无关组,并将其余向量由这个极大无关组表示出来.     

关于“广义正定矩阵与稳定矩阵的关系”的注记

指出广义正定矩阵与稳定矩阵的关系;介绍文[2]的定理1的证明依赖于文[2]的引理1,而文[1]指出文[2]引理1的证明是错误的,证明文[1]的定理1是正确的。     

关于“矩阵特征值的不等式”一文的注记

指出了由MichaelI.Gil在文[1]中得到的涉及到复矩阵的三类奇异值的不等式的一些错误,并重新证明了MichaelI.Gil给出的主要结果。     

关于“矩阵的直积”一文的注记

本文指出文[1]的定义及性质均是矩阵论中已有定义及已知性质,并进一步探讨了矩阵的直积的一些新的性质。     

关于A^3=A型矩阵A的对角化问题

本给出A^3=A型矩阵A可以对角化的证明，求出其特征值及重数，并利用A的对角化来求出线性变换的特征值及重数。     

关于伴随矩阵的一个注记

本文给出了求伴随矩阵的一个公式及其反公式     

关于可逆矩阵定义的注记

本文就矩阵可逆性的定义进行讨论，给出矩阵可逆的另一定义形式，并利用这一定义，证明了逆矩阵的存在性和唯一性．说明新定义与传统定义是一致的，不过新的定义在使用上要简单一些。     

关于一阶矩阵的注记

方阵中的一阶矩阵在教学中往往被忽略。本文从矩阵的性质以及矩阵在线性方程组、二次型等方面对一阶矩阵加以讨论。     

关于合同矩阵的一个注记

本文利用数学归纳法给出了关于合同矩阵命题的新证明.     

关于“对称变换可正交对角化”的证明

本文一改“对称变换可正交对角化”的传统证明方法,先证明实对称矩阵可正交对角化,从而证得原命题,这样可以回避一些晦涩难懂的概念,又可以让学生知道有两条路达到此目的,使思维方式得以拓广。     

关于“k次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记

应用数域上k次幂等矩阵和矩阵的正交性质,证明了在数域F上k次幂等矩阵的代数等价、相似和特征多项式相等这三者是等价的。概括和改进了金慧萍和吴妙仙《k次幂等矩阵和矩阵的正交性》的相应结论。     

行和相等矩阵对角化问题的研究

本文研究各行的行和均相等的实对称矩阵对角化的一种简便方法。