一类组合数和的公式探究

在二项式公式展开的基础上对几类组合数和的公式推导及进一步推广．     

关于一类组合数和的初等解法

在组合数计算公式与二项式定理基础上得到了计算一类组合数和的一些常用公式。这些公式的推出仅用了初等数学知识，这对于不熟悉高等数学相关内容的读者是方便的．     

一类组合数求和问题

设等差数列王a。}前n项和为夕”,则 n公式I兄ak,,c方=k二0一星竺匕2 0.(i) 儿十1fl兄(一i)七ak十:c轰=0.k二O证设等差数列公差为d,则k :二a, 无d.于是 nak,:c轰二(a: kd)c轰兄卜 Cn乙n二。:乙c轰 k=0 k2”一In之1=(a; a。十1)2”一‘lln乙(一1)冷ak十;c全k=0二a,乙(一i)“k二O     

一类组合数不等式的解法

形如C_m~(n1)>C_m~(n2)的一类组合数不等式,通常运用组合数计算公式,将其化为一个一元n次不等式求解。但有时化简后得到的不等式次数较高,解起来很麻烦,所以本文给出一种较为简捷的解法。定理1 设n_1相似文献   

一类组合数的计算与论证

(1 +ｘ) 2ｎ=( 1 +ｘ) ｎ( 1 +ｘ) ｎ 是一个恒等式 ,利用ｘｎ 的系数对应相等 ,我们可以证明 (Ｃ0ｎ) 2 +(Ｃ1ｎ) 2 +(Ｃ2 ｎ) 2 +… +(Ｃｎｎ) 2 =Ｃｎ2ｎ这一个论证方法是继二项式定理中“赋值法”求组合数代数和后 ,能够用来解决另一类组合数运算的一个有效方法 .此法可归纳为 :式恒等 ,对应项系数相等 .下面从一些具体实例出发 ,进一步介绍其应用 .例 1　证明Ｃｒｎ+Ｃ1ｍＣｒ- 1ｎ +… +ＣｋｍＣｒ-ｋｎ +… +Ｃｒｍ=Ｃｒｍ +ｎ.证明 :利用上述思想方法 ,可以发现右边的Ｃｒｍ +ｎ是 ( 1 +ｘ) ｍ +ｎ展开式中ｘｒ 的系数 .而 ( 1 +ｘ)…     

一类映射个数的探求

如下两道题曾作为数学奥林匹克高中训练题出现:题1设集合A={1,2,3,4,5,6},映射f: A→B满足f(f(x))=x,则映射f的个数为____.题2已知集合S={1,2,3,4,5,6},一一映射f:S→S满足条件:对于任意的x∈S,     

探求亲和数的一个方法

在文[1]的定理1中,我们把[2]中关于一类特殊的具有标准分解式a=2~npqb=2~nr的正整数a、b为亲和数的一个充分条件,加强为充分必要条件,本文进一步推广了文[1]的这一结果,提出探求这类亲和数的一般方法,利用本文方法,我们找到了上述形式的第4对亲和数.若无特别声明,文中字母仍表示正整数.     

一类相对运动问题规律的探求

省科学技术出版社七九年再版、周衍柏教授编著的《理论力学》“相对运动”一章有如下一道习题: 某人以一定的功率划船,逆流而上。当船经过一桥时,船上的渔竿掉入河中,两分钟后此人才发觉,立即回头追赶,追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方,求河水的流速。这是一道物理习题,同时也是一道数学习题。同样类型的题目还在中师教科书或一些参考资料中出现。因其是相对运动,船和渔竿既有反向相遇,又有同向追及,历来被认为是一道难题。其实只要掌握这类问题的特点,解决这类问题并不困难,一     

一类竞赛题的解题思路探求

数学竞赛中经常出现这样一类问题:它们首先是一种初始状态,然后要求按一定的规则对初始状态反复进行变换,问能否达到另一指定的最终状态.例如由省数学学会与浙师大数学系联合举办的首届省初中数学决赛试卷中的第五题就属于这一类题型.题目为“有红、黄、蓝三种颜色的玻璃片,它们的块数分别是13、15、17,允许进行以下操作:把两块不同颜色的玻璃片上的颜色擦去,涂上第三种颜色,问是否可以通过有限次操作,使得每一块玻璃都涂上了同一种颜色?证明你的结论.”此题的答对率很低,     

利用对称思想探求数式和图式问题

在我们的习惯思维活动中,对称思想往往伴随解析几何的问题,如函数中也存在着许多与对称有关的问题.但还有一些潜在对称的数式和图式问题,这类问题从其外形来看与对称问题毫不相关,但若能挖掘潜在的对称性,充分利用对称思想、对称原理求解,则能在纷繁的困惑中,求得简捷的解法.一、利用对称思想解决方程有关问题例1　已知方程组x2-y+2a=0y2-x+2a=0有唯一的实数解,试求实数a的值.解:易知方程x2-y+2a=0与y2-x+2a=0所表示的曲线关于直线y=x对称.又∵方程组有唯一解,∴两曲线有唯一交点,故此点必在直线y=x上,于是可以断定方程x2-x+2a=0有两相等的…     

利用对称思想探求数式和图式问题

在我们的习惯思维活动中．对称思想往往伴随解析几何的问题，如函数中也存在着许多与对称有关的问题．但还有一些潜在对称的数式和图式问题．这类问题从其外形来看与对称问题毫不相关．但若能挖掘潜在的对称性，充分利用对称思想、对称原理求解，则能在纷繁的困惑中，求得简捷的解法．     

一类点的轨迹方程的探求

2002年高考文史类解几试题为: 已知点P到两个定点(1,0)M-,N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程. 本题中,||MN=2为定值,||||PMPN=2也为定值,这是一类到定长线段两端点距离之比为定值的点的轨迹问题. 为了探究这类问题的一般解法,本文给出与此相关的几个定理. 定理1 到直线yt=上定长为2(0)aa>的线段12MM的两个端点1M、2M的距离之比是一个正数(1)mm的点的轨迹方程为 22222()11amaxml ---l 2()yt- =22224(1)amm-, (其中0102,MMMMl=1l?(0,))Mt 证明 在给定的直角坐标系里,设1(,)Mct,则2(2,)Mact , 设动点(,)Mxy,由…     

一类特殊不等式中的参数探求

含参数不等式中有一类是已知不等式的全部解或部分解,去探求某些参数的值或范围问题.解决此类问题的方法与常规的求解有所不同,必须掌握一些特殊的求解策略.现就其解法作些探求与归纳.     

用微积分求组合数的和

利用微积分解决有关组合数的和的问题，往往能使解题过程大为简捷。     

自然数的方幂和与组合数

本文进一步探讨了自然数的方幂和与组合数之间的关系,并得到了一个定理.     

一类最值问题的多方位探求

寻求一题多解、思考每一种解法的特点,可以沟通不同部分的知识和方法,开阔思路,提高分析和解决问题的能力,本文试对一类最值问题,从诸多的解法中,选出四种解法,为同学们提供一些思考方法及解题技巧。     

一类抽象函数题的思路探求

抽象函数是指没有给出具体解析式,仅用抽象函数符号揭示某种性质的函数．由于函数符号的抽象性,决定了性质的隐蔽性,从而容易造成解题的盲目性,所以这类题目求解,具有一定难度。     

用斐波那契数列解决一类组合数求和问题

高中数学教材课外阅读中有一个问题: 问题1 现要上一个10级的楼梯,可1步走 1级或1步走2级,问共有多少种走法? 解:分以下几种情况考虑:     

一类线性空间的结构和维数

设A，B分别是数域F上的m阶与n阶方阵，则矩阵方程A^-X-=^-X-B的解为m×n矩阵，并且此矩阵方程的全体解构成一个线性空间。若A，B的特征多项式互素，那末此线性空间为零空间。