共圆(球)有限点集的一类多线共点性质再探

有限点集V={A1,A2,,An}的所有点都在同一圆(或球面)上,我们称V为共圆(或共球)有限点集.以这些点为顶点的封闭折线A1A2A3An A1,称为圆(或球)的内接闭折线,简记为A(n).文[1]定义多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},若点H满足1niiOH OA==∑,则点H称为多面体V的伪垂心.若点H j(1≤j≤n),满足1nj i jiOH OA OA==∑?,则点H j称为多面体V的一级顶点子集V j的伪垂心.进而推出定理1设多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},其一级顶点子集V j的伪垂心为H j,过顶点A j作直线l j平行于OH j,则诸直线l j(j=…     

三角形垂心定理的再推广

在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献   

普鲁海圆的美妙性质

1863年,普鲁海(Prouhet)将三角形的九点圆(也称欧拉圆或费尔巴哈圆[1])定理,类比推广到垂心四面体中,得到了如下的十二点球定理:[2]定理0在垂心四面体中,以外心与垂心连线的第二个三等分点为球心,外接球面半径的三分之一为半径的球面,必通过十二个特殊点,即:四个顶点与垂心连线的第二个三等分点,四个侧面的重心,以及四条高的垂足.这个定理所说的球面,通常称为垂心四面体的普鲁海球面.最近,曾建军国老师在[3]中指出:若垂心四面体A1A2A3A4的外心为O,垂心为H,则点H满足OH=12∑i=41OAi.据此,我们可以将圆内接四边形与垂心四面体进行类比,导出一个有趣的十二点圆定理.现介绍如下,供读者赏析.本文约定:在任意四边形A1A2A3A4中,除任一顶点Aj外,以其余三顶点为顶点的三角形,称为四边形A1A2A3A4的子三角形,记作△j(j=1,2,3,4).定义设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O,R),若点E满足OE=21∑i=41OAi(1)则点E称为四边形A1A2A3A4的欧拉圆心[4];以线段OE的第二个三等分点P为圆心、3R为半径的圆,称为四边形A1A2A3A4的普鲁海圆,记作⊙P,3R.其中,...     

三角形垂心的一个性质的推广

众所周知,三角形的垂心有如下性质： 定理1 设△ABC的垂心为H,外接圆半径为R,则AH^2＋BC^2=4R^2． 本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接多边形中．     

三谈三角形垂心定理的推广

在拙文[1]和[2]中,我们曾将三角形垂心定理先后推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集Vjm的垂心为Hjm,过点Hmj作直线AjAm的垂线ljm,则诸直线ljm(1≤j相似文献   

也谈球内接多面体伪垂心的性质

文[1]应用向量方法,建立了球内接多面体的“伪垂心”概念,并揭示了它的若干有趣的性质.笔者在研究这一问题时,发现了其新性质,为节省篇幅,本文沿用文[1]的有关定义及符号.从多面体V的n个顶点中,任意除去两个顶点A j,Ak(1≤j相似文献   

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质——兼擂题（65）解答

擂题 (65 ) (熊曾润提供 )　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i相似文献   

垂心余弦定理及其应用

在国内外数学竞赛中,与三角形垂心有关的试题时常出现。本文对三角形垂心余弦定理作些探讨,并举实例说明其应用。 定理 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R     

三角形的一个性质

笔者最近发现，三角形有一个性质，介绍如下，请伺行指正：定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于这个三角形外接圆与内切圆直径之和；钝角三角形垂心到两锐角顶点距离之和减去垂心到钝角顶点距离等于该三角形外接圆与内切圆直径之和．证明设三角形的三边为a、b、c，垂心为H，外接圆与内切圆半径分别为R和r．如图建立直角坐标系，则C（0，0）、A(b，0）、B（αcosCαsinC），无论是锐角还是钝角三角形，直线AH、BH的方程分别为由此得垂心坐标为应用距离公式，余弦定理及正弦定理得：于是，当△ABC为锐角三角形时|HA|注意到当△…     

三角形垂心的性质及应用

垂心是三角形中的重要一点,鉴于知识的条理化、系列化,本文将归纳涉及三角形垂心的诸多性质及其应用。先不加证明地给出有关的性质。性质1 三角形的三条高线相交于一点(这就是三角形的垂心定理)。性质2 H是锐角△ABC的垂心,AH交BC于D,交△ABC外接圆于L,有     

五谈圆内接闭折线垂心的性质

在拙文[1]～[4]中,我们已经揭示了圆内接闭折线垂心的众多有趣性质,这里再作点补充. 定理1 设闭折线A1A2A3…AnA1内接于⊙(0,R),其垂心为H,则 (这个等式不妨称为“垂心与外心的距离公式”.) 证明以外心O为原点建立直角坐标系xOy(图略),设顶点Ai的坐标为(x1,yi)(i=1,2,…n),垂心H的坐标为(xH,yH),则由[1]可知     

关于三角形垂心的探讨

三角形的重心、外心、内心的性质 ,大家都比较熟悉 ,但对于三角形垂心的性质未见介绍过 ,本人在教学中偶有发现 ,在此介绍并证明如下 ,供同行参考并指正。命题　三角形的重心到各顶点的距离与对应顶点内角余弦值的绝对值的比都相等 ,都等于三角形外接圆的直径。设△ABC的垂心为H ,外接圆的半径为R ,设A、图 1B、C为△ABC的三个内角 ,则HA|cosA|=HB|cosB|=HC|cosC|=2R。下面分三种情况证明 :( 1 )设△ABC为锐角三角形 (如图 1 ) ,作直径BD ,连结AD、DC ,则∠BDC =∠BAC①在Rt△BDC中 ,cos∠BDC =DCBD=DC2R ②又DA⊥AB(…     

圆内接四边形的垂心及其性质

众所周知 ,三角形的三条高所在的直线必相交于同一点 ,这个点称为三角形的垂心 .在△ABC所在的平面内 ,以它的外心O为原点建立直角坐标系xOy ,设△ABC三顶点A、B、C的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3) ,其垂心H的坐标为 (xH,yH) ,那么容易推得xH = 3i=1xi,yH = 3i=1yi.这就是三角形的垂心的坐标公式 .据此 ,运用类比方法 ,我们可以建立圆内接四边形的“垂心”概念 ,并探讨其性质 .定义　设四边形ABCD内接于⊙O ,以圆心O为原点建立直角坐标系xOy ,设顶点A、B、C、D的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3)、(x4 ,y4 ) ,…     

三角形垂心坐标公式应用二三例

以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线.     

三角形垂心的性质及其应用

1　基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1　垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2　△ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3　Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4　△ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5　在非直角三角形中 ,过…     

七谈圆内接闭折线垂心的性质

在拙文[1]~[6]中,我们对圆内接闭折线垂心的性质已作过多方面的探讨.这里再作点补充. 为了叙述简便起见,本文约定:符号()An表示内接于⊙(,)OR的任意一条闭折线 1231nAAAAAL. 从闭折线()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA,其余(2)n-个顶点组成的集合,称为()An的二级顶点子集,记作(1jmV j)mn相似文献   

垂心闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。定义对闭折线A(n),设其顶点全集的最大真子集{A_1,A_2,…,A_(i-1),A_(i 1),…,A_n}的垂心为H_i(i=1,2,…,n),则闭折线H_1H_2H)3…H_nH_1称为A(n)的垂心闭折线,记作H(n)。垂心闭折线具有下列性质:     

过三角形垂心与一边中点的直线的性质及应用

(本讲适合高中) 1知识介绍 设H为非等腰锐角(或钝角)△ABC的垂心,M为边BC的中点,点H在边BC上的射影为D;J为AH的中点,以AH为直径的圆记为⊙J;△ABC的外接圆记为⊙O;直线MH与⊙0交于点A1、A2(点M在A1与H之间).     

球内接多面体的伪垂心及其性质

本文拟应用向量方法,建立球内接多面体的“伪垂心”概念,并探讨其性质.为了叙述简便起见,本文约定:(i)字母V表示任意一个多面体,它的所有顶点组成的集合为{A_1,A_2…A_n},称为V的顶点全集;(ii)从多面体V的n个顶点中,任意除去一个顶点(1)jAjn≤≤,其余1-n个顶点组成的集合,称为V