例谈方程整数根问题的求解

方程整数根问题牵涉的知识面比较广(方程理论、整除性理论等)、题型多变(不定方程型、方程组型、解析几何型以及多项式整除型等)，其处理更以“入口宽、方法巧”见长，因而成为各层次初中数学竞赛的重点考察内容．本文从六个方面中。来介绍数学竞赛中方程整数根问题的求解。     

带余除法定理的一种证明

目前师范院校高等代数课多以张禾瑞、郝■新所编《高等代数》第三版为教材。在其第二章的多项式中，一元多项式占有重要地位，而“带余除法定理”又是一元多项式整除性理论的关键，是讨论一元多项式的最大公因式及多项式的根的理论基础。在教学中，教师应随时将一元多项式整除性理论与整数的整除性理论进行比较。故此，本文给出了“带余除法定理”除教材中证明方法以外的另一种证明方法，以供教学参考。     

例谈数学竞赛中方程整数根问题的求解

方程整数根问题牵涉的知识面比较广(方程理论、整除性理论等)、题型多变(不定方程型、方程组型、解析几何型以及多项式整除型等),其处理更以"入口宽、方法巧"见长,因而成为各层次初中数学竞赛的重点考察内容,如今年进行的两次全国性考试(全国初中数学联赛和"信利杯"全国初中数学竞赛)中,就各有一道大题;再如湖南省高中理科实验班联合考试数学卷中就几乎每年都有一道大题(见下面的例子)……下面本文从六个方面来介绍数学竞赛中方程整数根问题的求解.     

例谈数学竞赛中方程整数根问题的求解

方程整数根问题牵涉的知识面比较广 (方程理论、整除性理论等 )、题型多变 (不定方程型、方程组型、解析几何型以及多项式整除型等 ) ,其处理更以“入口宽、方法巧”见长 ,因而成为各层次初中数学竞赛的重点考察内容 ,如今年进行的两次全国性考试(全国初中数学联赛和“信利杯”全国初中数学竞赛 )中 ,就各有一道大题 ;再如湖南省高中理科实验班联合考试数学卷中就几乎每年都有一道大题 (见下面的例子 )……下面本文从六个方面来介绍数学竞赛中方程整数根问题的求解 .1　因式分解如果整系数一元二次方程ax2 +bx+c =0有整数根 ,那么可将方程的…     

数的整除问题

数的整除问题涉及的数学概念较多,知识容量较大,数学思想方法丰富,思维技巧性强,是小学数学竞赛试题的重要内容之一。一、约数和倍数一般地,如果a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整数b(b≠0)所得的商c是整数,我们就说a能被b整除(或者说b能整除a),记作b｜a。此时,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。整除的特征有:①能被2整除———个位数字是0、2、4、6、8;②能被5整除———个位数字是0或5;③能被3(或9)整除———各个数位的数字之和能被3(或9)整除;④能被4(或25)整除———末两位数能被4(或25)整除;⑤能被8(或125)整除———末三位数…     

整数的整除性

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一。由于对整数性质的论证是具体、严格、富有技巧的，所以它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题。因此，了解一些整数的性质和有关整除性问题的解法是很有必要的。     

利用无穷递降法解题

无穷递降法是解决数学问题的一种重要方法,特别是在不定方程的求解及研究整除性、存在性、整数数列的性质等问题中,具有重要的使用价值．本文举例说明其应用．     

求解整除性问题的几个另类视角

<正>多项式的整除与整数的整除性有很多类似的性质,这方面的基本知识可参考2000年华东师范大学出版社出版的余红兵老师的《奥数教程》(高三年级分册).其中的整系数多项式的Gauss引理、不可约多项式的Eisenstein判别法在这里要用到.     

第二讲 整数性质的初步应用

整数论在数学领域中占重要的地位.整数问题的解法灵活多变,技巧独特,故在各级各类竞赛中常见此类题目.但整数论中有些问题较深奥,且还有许多问题尚待解决,本讲仅对质数与合数、数的整除、奇数与偶数、完全平方数等问题进行一些讨论.     

整除性问题的递推证法

整除性问题的递推证法陕西华阴黄河工程机械厂中学李建章整除性问题是数学竞赛中的常见命题，通常的证法是数学归纳法或利用较强的变形技巧．本文给出与自然数ｎ有关的整除性问题的简单的递推证法，供参考．命题１设均为非负整数．若且，则ｍ｜ｆ（ｎ）．由递推性易知命题...     

匈牙利奥林匹克数学竞赛中与整数整除性有关的若干命题

本文纵观了本世纪匈牙利数学奥林匹克竞赛的各类试题,特别密切关注了与整数整除性有关的命题,研究了匈牙利数学竞赛中具有“短、平、快”风格的试题给出了解决这类问题的基本方法。     

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1.学习“数的整除”一章有什么意义? 小学数学“数的整除”一章内容,是有关数论的最初步知识。学习这部分内容有三方面的实际意义:一是初步了解整数的性质,加强基础知识的教学。整数与整数的和、差、积均是整数,而整数与整数的商不一定是整数。究竟在什么情况下,两个整数相除,其商仍然是整数呢?这就要根据数的整除性来判断。二是进一步学习的需要。在小学数学中教学这些知识,主要是为了后面学习通分、约分和分数四则运算打好基础,也为学生中学学习因式分解等代数知识作些准备。三是通过加深对整数性质的认识,使学生的抽象思维能力得到锻炼与提高。     

一类整除问题的通解方法

(一)问题的提出在不少数学资料和一些试题中,经常出现这样一类有关整除性的问题:设p(n)=a_0n~k a_1n~(k-1) …… a_k(a_0≠0)…………………(i) 是一个关于整数n的多项式(其中,k为正整数,a_0,a_1,……a_k均为整数)。需要判定p(n)是否能够被整数m(m≠0和1)整除?(所谓整除,是指对一切整数n,p(n)均能被m整除)。例如 (1)试证:n~3-3n~2 2n-6能被6整     

数的整除

小学数学研究的主要对象是整数,而数的整除性则是研究整数性质的基础,所以每个小学数学教师对这部分知识都应当牢固掌握,并有更深一步的了解.数的整除理论的初步知识一、数的整除性1.整除、约数和倍数的意义.在整数范围内,如果一个整数a除以一个自然数b,能得到一个整数商q,使得a=bq(即余数是零),那么,就说b整除a或a被b整除,记作b|a(或a(?)b).此时把b叫做a的因数或约数,把a叫做b的倍数.     

一个整除问题的证明

《趣味数学集锦》一书中,有这样一个整除性问题:任取一个n位整数,以你喜欢的方式,将这n个数字任意重新排列,则开头的数与新数之间的差,总能被9整除.     

数论

数论是数学中研究整数性质的一门学科．其初等部分是以整数的整除性为中心的,包括了整除性、不定方程、同余式、连分数、素数分布以及数论函数等内容,所用工具一般不超过初等实分析,称为初等数论．     

学习“数的整除性”一章应注意的几个问题

学习《算术理论》一书有关数的整除性时,有必要联系小学教材和教学工作的实际,弄清几个有关的问题。一、关于整除的两种定义。整除的定义,常见的有两种。第一种是:如果整数a除以自然数b,所得的商正好是整数而没有余数,我们说a能被b整除。第二种定义是:a和b都是自然数,如果a除以b所得     

与整数有关的平面几何问题

把传统的平面几何知识与古老的整数理论相结合,是国内外数学竞赛试题中一类常见题型．解这类问题除了应用几何知识和整数的性质（奇偶性,整除性,质数和合数的性质,完全平方数的性质等）外,还要用到一些数学的思想和方法．下面结合例题作介绍．     

谈谈“整除”的定义

(一) 定义的形式“整除”的定义,从形式上来看,主要有两种叙述方式: 一种是以华罗庚教授的《数论导引》为代表,例如陈景润在《初等数论》中的定义是:“设a、b是整数,b(?)0,如果有一个整数c,它使得a=bc。我们就说b能整除a,或a能被b整除。”这种叙述,我们不妨称为整除定义的积的形式。另一种如湖北省中等师范学校试用课本第四册《小学数学复习及研究》、辽宁省中师函授试用课本《数学(算术)》等,它们的定义是“如果一个整数a,除以一个自然数b,得到整数商c而没有余数,     

竞赛活动辅导(二)整除和同余

在各类各级的小学数学竞赛中,经常会见到有关整除和同余的试题。下面介绍讨论这方面的有关知识及应用。 一、基础知识的分类 1.整除和不能整除 在整数范围内,除法算式可以分成整除和不能整除两大类。 整数a除以整数b(b≠0),如果存在整数q,能使a=bq,我们就说a能被b整除,或者b能整除a,记作b│a。例如3│24。 显然,对于0和1有b│0,1│a。 如果不存在这样的整数q,就说a不能被b整除,记作ba。例如:325。325可以写成25÷3=8……1,或者25=3×8+1。 一般地,整数a除以整数b(b≠0),商是q,余数是r,都有关系式:a=bq+r(0≤r相似文献