常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

三个易混淆的结论

以下是中学生容易混淆的三个命题：命题1若函数f(x)满足f(k-x)=f(k x)，(x∈R，k是实常数，以下相同)，则函数y=f（x)的图象关于直线x=k对称．     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

挖掘隐含条件 分析误解原因

一、从函数的定义域中挖掘隐含条件例1:求函数f(x)=12-ttaannx2x的最小正周期.错解:∵f(x)=12-ttaannx2x=tan2x,∴f(x)的最小正周期是T=!2.错因:忽视了原函数的定义域,误认为原函数与y=tan2x是同一类函数.我们在研究函数性质的问题时,要树立“定义域优先”的意识.必要时,可以画出函数图象.化简两函数知:(1)f(x)=12-ttaannx2x的定义域是:｛xx≠k!+!2,x≠k2!+!4,k∈Z｝;(2)f(x)=tan2x的定义域是:｛xx≠k2!+!4,k∈Z｝.可见,两函数的定义域不同,它们不是同一函数.只有在f(x)=tan2x的后面加注了x≠k!+!2(k∈Z)后它们才是同一函数.挖掘出这一隐…     

导数易错题辨析

在导数的学习中 ,我们常常会遇到下面一些问题 :例 1　已知 f(x) =kx3-x2 + 13 kx-16在R上单调递增 ,则k的取值范围是 (　　 )(A)k >1　　　　 (B)k≥ 1(C)｜k｜ >1(D)｜k｜≥ 1错解　f′(x) =3kx2 -2x+ 13 k ,依题设 ,对一切x ∈R ,f′(x) >0 .∴3k>0Δ =4-4 · 3k·13 k<0 ,∴k >1,选A .正解　依题设 ,对一切x∈R ,f′(x) ≥0 ,应选B .错因辨析　我们知道 ,对一切x∈R ,f′(x) >0是 f(x)在R上单调递增的充分不必要条件 .该题中 ,f(x)在R上单调递增的充要条件是对一切x∈R ,f′(x)≥ 0 .值得提醒的是 ,并不是对一切函数 f(x) ,f′(x)…     

有关不等式恒成立问题的探析

<正> 若关于x的不等式f(x,k)>0(<0)恒成立,求k的取值范围.对这类问题,常有以下解题途径.1.将f(x,k)>0变形为g(x)>k或g(x)相似文献   

多项式最大公因式性质定理的补充

多项式最大公因式理论中有重要定理：任给f(x)，g(x)∈k[x]，必存在u(x)，u(x)∈k[x]使u(x)f(x) u(x)g(x)=(f(x)，g(x))．本文给出上定理中u(x)，u(x)的结构。     

函数f(x)=x+(k/x>0)的最值及应用x

函数f(x)=x+f(x)=x+(k/x>0)在高中数学中有着非常广泛的应用.本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质,以及其在三角函数等方面的应用进行了探讨.这对于训练高中学生的归纳和转化思想具有一定的意义.     

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=     

微积分在证明和式不等式中的应用

在证明某些特殊类型的不等式时,用初等数学的方法往往很困难,有的甚至难以下手,而利用微积分的知识来解决则比较简便.定理1设函数y=f(x)在(0, ∞)上递增,且f(x)>0,则有∑n-1k=1f(k)<∫1nf(x)dx(1)∑n 1k=2f(k)>∫1n 1f(x)dx(2)证因为f(x)在(0, ∞)上单调递增且f(x)>0,所以f(n)>     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

函数单元测试题

一、选择题1.已知f了笔姿)一、l!J户1一xZ 1十劣2，则f(x)的解析式可取为() 1+x“B.一2x 1十x“2x’1+扩D，一工1十丫函数f(x)二险一川的图象是() A .，石干今一书舟A. C. D、工若f(x)一三二2工次叮方程f(4x)一二的根是()摹1一a，2006年第9期A .B.C.D. 9.若函数y一了十(a+2)、+3〔二任仁a，司)的图象关于直线x一l对称，则b一( A .6 B.7 C.8 D.9 10.关于x的方程(扩一1)2一}扩一1{十k一。，给出下列四个命题:①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根;…     

关于导数的一个等价定义

设f(x)在零点的某个邻域内有定义且在零点连续,则f(x)在零点可导的充分必要条件是limh→0k→0|h|≠|k|f(h)-f(-k)/h+k存在.     

关于平方根十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2 n k)(1/2)。本文证明了:当n≥5k-1时,d(f(n,k))=5。     

亦谈周期函数与其导函数的周期

本刊92年第五期刊登了一篇题为“周期函数与其导函数的周期”的文章,该文证明了下述定理。定理非常值周期函数f(x)在R上有定义且连续,而f′(x)存在且可积,则f′(x)也为周期函数,并且f(x)与f′(x)有相同的周期。并举下例说明其应用。例设f(x)=x-2k,(2k≤r<2k+1) -x+2(k+1),k∈2 (2k+1≤x<2k+2) 则f(x)与f′(x)有相同的周期2。(见原文例3)。显然,上例中的f′(x)当x=k时,不存在,故上述例不满足定理之条件,故用上述定理得出其结果不妥。易见,条件“f′(x)存在且可积”是相当强的,以致于象f(x)=tgx这样常用的初等函数     

数学问答

1.已知函数f(x)=(sinx cosx)22 2sin2x-cos22x,(1)求此函数的定义域、值域,(2)若f(x)=2,-4π相似文献   

高考三角函数的综合题

一、与函数结合的试题例1(2003年上海高考题)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体.存在非零常数T,对任意x缀R,有f(x+T)=Tf(x)成立,若函数f(x)=sinkx缀M,求实数k的取值范围.解当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0缀M;当k≠0时,∵f(x)=sinkx缀M,∴存在非零常数T,对任意x缀R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.∵k≠0,且x缀R,∴kx缀R,(kx+kT)缀R,∴sinkx缀[-1,1],sin(kx+kT)缀[-1,1].故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1.当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,m缀Z.当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx成立,则…     

高中数学基础训练题（2）

函数1 .对于任意函数 y=f ( x) ,在同一坐标系里y=f( x- 1 )与 y=f( 1 - x)的图象(　　 ) .( A)关于 x轴对称( B)关于直线 x+ 1 =0对称( C)关于 y轴对称( D)关于直线 x- 1 =0对称2 .从盛满 2 0升纯酒精的容器里倒出 1升 ,然后用水填满 ,再倒出 1升混合溶液 ,又用水填满 ,这样继续进行 ,如果倒第 k次 ( k≥ 1 )时共倒出纯酒精 x升 ,倒第 k+ 1次时共倒出纯酒精 f( x)升 ,则函数 f( x)的表达式是 (　　 ) .( A) f ( x) =1 92 0 x( B) f( x) =1 92 0 x+ 1( C) f ( x) =12 0 x( D) f( x) =12 0 x+ 13.设 f( x) =lg( 1 0 x + 1 ) + ax 是偶函…     

函数解析式之零点式的妙用(高一、高二、高三)

如果a声是了(x)一二2+bx+。一O的根， 那么二次函数可写成f(x)一a(x一a)(x一角，它 称为二次函数的零点式.零点式在解题中有很多 用处. 例1已知f(x)一二3+bxZ十cx十d是定 义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点， 若B点坐标为(2，o)，且f(x)在「一l，o〕和〔4，5] 上有相同的单调性，在仁。，2」和〔4，5]上有相反 的单调性.求}AC}的取值范围. 解依题意f(x)在[一1，叼和即，2〕上有相 反的单调性，所以 f’(o)一o· 又因为厂(x)一3二“十Zbx+。， 因为 所以 一6成k镇一3， 25镇(k一2)2簇64， 9((k一2)2一16毛48， 所以 例2 f(x)一 3(…