数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

反比例函数的一个性质及其应用

<正>反比例函数除了具有增减性、轴对称性、中心对称性外,还有以下性质:性质1如图1,直线AB交反比例函数y=m/x(m>0)的图象于A、B两点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,连结DC,则DC∥AB.证法1(面积法)连结AD,BC,作AM⊥y轴于点M,BN⊥x轴于点N.∵A,B两点在双曲线y=m x(m>0)上,∴S矩形AMOC=S矩形AMDE,S矩形BNOD=S矩形BNCE,     

有关圆的问题辅助线的作法

在解决圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,圆中辅助线的作法较多,变化万千,这里举例介绍几种常见的辅助线的作法.例1如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证证法:A一C平分∠DAB.连结BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠1 ∠B=90°.又AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠2 ∠3=90°,又DC为⊙O切线,∴∠3=∠B.由上可知:∠1=∠2,∴AC平分∠DAB.点拨当圆中出现直径时,常构造“直径上的圆周角”,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.证法二连结OC.∵DC为⊙O的切线,∴OC⊥DC.∵AD⊥DC,∴OC∥AD,…     

从一道习题想开去

在几何复习课中,若从一道典型的题目变化或引伸出去,便能收到举一反三与温故知新的功效。下面就第二册课本P.155第6题展开讨论。题目如下: 已知:如图1,MN是⊙O的切线,C为切点,AB是⊙O的直径,AM⊥MN,BN⊥MN。求证:AM BN=AB。分析:本题的证明多为连结OC,利用梯形中位线定理证之,但如果注意到所证结论为线段的和形式,也会想到利用“截长法”,在AB上截取AD=AM,并连结AC、BC,如图1,通过△AMC≌△ADC和△BNC≌△BDC证出。     

对一道几何例题的思考

几何第二册P121有一道例题：例题已知⊙O1和⊙O2切于C,AB是两圆的外公切线。A、B是切点.求证：AC⊥BC关于这道题，证法较多，也较简单，为了便于对这道例题做进一步的研究，不妨采用下面的证明方法．证连O1O2并延长交⊙O1与⊙O2于M、N，如图1，连AM、AO1、BN、BO2，则O1A⊥AB,O2B⊥AB，∴OA1∥O2B．∵∠BAC＝∠AMC＝∠AO1C，∠ABC＝∠BNC＝∠BO2C，∴∠BAC＋∠ABC＝(∠AO1C＋∠BO2C）＝×180°＝90°，∴AC⊥BC．问题解决了，回味一下，图1中，因为MA⊥AC，BC⊥AC，∴AM∥BC．由于CB⊥BN，∴MA⊥BN（…     

如何解决圆与函数相结合的压轴题

1.圆与一次函数、二次函数联姻例1(2011湖北襄阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C,连结BC,AC.CD是⊙O′的切线,AD丄CD于点D,     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

一道竞赛题的另两种证法

题目如图1,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于点E,DE与BC交于点N．求证：BN=CN．     

一道赛题的证法荟萃和变式探究

20 0 3年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题的第 11题 ,结构新颖、证法多样 ,颇有探究开发的价值 .本文将整理它的证法 ,探究它的变式并谈一点自己的看法 ,不妥之处 ,请大家斧正 .1　试题证法荟萃图 1问题　如图 1所示 ,已知 AB是⊙ O的直径 ,BC是⊙ O的切线 ,OC平行于弦 AD,过点 D作 DE⊥ AB于点E,连结 AC,与 DE交于点 P.问 PE与 PD是否相等 ?证明你的结论 .证法 1　探究发现 ,线段 PE与 PD相等 .∵ AB是⊙ O的直径 ,BC是切线 ,∴ AB⊥ BC.由 Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EPBC=AEAB.又 AD∥ OC,∴∠DAE=∠COB,于是…     

有心圆锥曲线一个性质的新发现

<正>1背景介绍近日,笔者发现圆中有以下结论:如图1,AB是⊙O的直径,C、D是圆上异于A、B的两点,设直线AC、BD相交于点M,直线AD、BC相交于点N,则MN⊥AB.证明因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BM,BC⊥AM,于是点N是△ABM的垂心,从而有MN⊥AB.     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

巧添切线辅助线

1遇有半径作切线,与半径垂直于外端 当题中的图形内有半径(或直径)时,可过半径(或直径)的外端作圆的切线,则这条切线垂直于经过切点的半径。这对证明题会增加新的条件。例1 已知:如图1,在⊙O中,OA⊥OB,在OB上任取一点E,AE交⊙O于点D,过D作切线DC交OB的延长线于点C,求证CD=CE. 略证过点A作⊙O的切线AF,那么AF⊥OA,又因为OA⊥OB,于是得到AF∥OB,∠CED=∠FAD,又由CD于⊙O相切于点D,得到∠CDE=∠FAD,故可得出结论。     

一道课本例题的演化

题目:已知如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD。求证:DC是⊙O的切线。 (人教版《几何》第三册P109)     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

浅析一道几何题的证明方法

题目:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作DE⊥AC,垂足为E.BE交⊙O于F.AF的延长线交DE于G.求证:     

四则圆问题的求解

例1 如图1,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,D0平分∠ADC．     

精读垂径定理

1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧． 符号语言表述为：如图1,在⊙O中,若直径CD⊥AB,则AE=BE,AD=BD,AC=BC.