求直线方程的又一种方法

概念: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点, 称方程f(x,y)=0为曲线C的方程.充分利用曲线与方程的关系,可简化问题的求解. 例1 过点P(-1,1),作直线与椭圆x2/4+y2/2=1交于A、B两点,若线段AB的中点恰     

函数及其图象复习指导

1 复习要点提示 1.理解直角坐标系中关于坐标、原点、象限等概念。理解坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。 2.掌握特殊点的坐标的特征 (1)若点P(x,y)在x轴上,则y=0;若点P在y轴上,则x=0。 (2)若点P(x,y)在第一象限,则x>0,y>0;若点P(x,y)在第二象限,则x<0,y>0;若点P(x,y)在第三象限,则x<0,y<0;若点P     

探究圆锥曲线的一类定点定值问题

例题:如图1,设P(x0,y0)是曲线C:x2 =4y上的一个定点,过点P任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点A、B. (1)证明:直线AB的斜率为定值; (2)记曲线C位于A、B两点之间的那一段为L.若点E在L上,且点E到直线AB的距离最大,求点E的坐标.     

巧用“点在曲线内部”的充要条件解题

我们知道,对于二次曲线f(x,y)=0(圆、椭圆)和平面内一点P0(x0,y0),有如下充要条件。(1)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部f(x0,y0)<0.(2)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部过P0(x0,y0)的直线L恒与曲线f(x,y)=0相交。如果充分利用“点在曲线内部”这一充要条件和性质解题,不仅求解思路清晰、和谐、优美,而且解题过程简捷、明快,可收到事半功倍的效果。下举数例说明。例1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线L:(2m+1)y=7m+4(m∈R),证明:不论m取什么实数,直线L与圆恒交于两点。解析:本题的常规解法是:把直线代入圆方程中并整理成有关一元二次方程,…     

学生的质疑是老师不断进步的思想源泉

在高三第三轮复习中,有这样一道题:曲线y=f(x)=-1/6x~3 1/2x~2 x,问曲线上是否存在一点P,使得y=f(x)的图像关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.     

利用点在曲线内外解题

大家知道，若已知曲线C的方程为F(x，y)=0，且点P(x0，y0)在曲线C上，则有关系式F(x0,y0)=0．这一关系我们常用来解题．而若点P(x0，y0)在曲线外，则有关系式F(x0，y0)&;lt;0或F(x0，y0)&;gt;0，这一关系常被忽略．下面就谈其应用．     

曲线Ax~2+By~2=C的性质及应用例说

本文介绍曲线Ax2+By2=C(AB≠0)的一条有趣性质,并以高考题为例说明其应用.1曲线的性质定理设曲线Ax2+By2=C(AB≠0)与直线P1P2相交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,P为线段P1P2的中点,若直线P1P2、OP的斜率分别为k、m,则A+kmB=0.证明设P(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且xy00=1m.因为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点在曲线上,所以Ax21+By12=C,Ax22+By22=C.两式相减并整理,得A(x1-x2)x0+B(y1-y2)y0=0,由题意知x1≠x2,则有y1-y2x1-x2=-AByx00,即k=-mAB,所以A+kmB=0.2性质的应用2·1求圆锥曲线的离心率例1(2005年全国高考题)已知椭圆的中…     

谈解析几何中的对称问题

“对称”是解析几何中的常见问题 ,也是一种重要的思想方法 .本文旨在对解析几何中的点对称、轴对称问题进行整理 ,以供学生参考 .1　关于点的对称(1)点关于点的对称问题 ,通常我们是将其化为中点问题来解决 .例如 ,求点P(x ,y)关于点M (x0 ,y0 )的对称点P′的坐标 .设P′(x′ ,y′) ,由M为｜PP′｜的中点 ,得　　x+x′2 =x0y+ y′2 =y0 x′ =2x0 -x ,y′=2 y0 - y ,即所求对称点的坐标为P′(2x0 -x ,2 y0 - y) .(2 )曲线关于点的对称问题 ,利用对称定义 ,结合求轨迹方程的代入法即可解决 .例如 ,求曲线C :f(x ,y) =0关于M (x0 ,y0 )对…     

高考2006全国卷理科数学一题的新解法

题目:在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-3)和F2(0,3)为焦点、离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与X、Y轴的交点分别为A、B,且向量OM=OA+OB,求(Ⅰ)点M的轨迹方程.(Ⅱ)|OM|的最小值.解析:(Ⅰ)解答过程见原《参考答案》.显见,《参考答案》中是采取“用导数求斜率”的方法得到过P点的切线方程为:y=-4yx00(x-x0)+y0(1)而另一种方法是基于如下的一般结论:设点(x0,y0)是曲线上任一点,用x0x、、y0y分别代替原曲线方程中的x2、y2项;用x02+x、y02+y分别代替原曲线方程中的x、y项,那么,所得方程…     

圆锥曲线切线的又一性质

在高三数学复习教学中,遇到如下的一个问题:如图1,已知抛物线C:y=x2,过点P(0,2)的直线交抛物线于M、N两点,曲线C在点M、N处的切线交点为Q,求证:点Q必在同一条直线上.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=x21,y2=x22,过点M,N的切线方程为联立得y-x21=2x1(x-x1)y-x22=2x2(x-x2),解得x=     

切线问题——越来越热的数学高考话题

近几年来,关于函数图像的切线问题,逐渐进入高考试卷,并在不断加大考查力度和与相关知识融合的力度,已经成为高考的热点.导数为这类问题的解决提供了新思路、新方法、新途径,拓宽了高考的命题空间.下同介绍高考切线问题的七种类型,并力求运用导数知识解决问题的主要思想方法,供复习参考.1求过一点的曲线的切线方程例1(2007年浙江省高考题)曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是.解显然点(1,-3)在曲线y=x3-2x2-4x+2上.因为y′=3x2-4x-4,所以y′│x=1=-5,因此所求切线方程为y+3=-5(x-1),即5x+y-2=0.例2(2006年全国高考题)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,其中一条为().(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0错解y′=2x+1,y′│x=-1=-1.故过点(-1,0)的抛物线的切线方程是y-0=-1(x+1),即x+y+1=0,所以选C.正解显然(-1,0)不在抛物线y=x2+x+1上.设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x20+x0+1.过点P的切线方程是y-(x20+x0+1)=(2...     

点到直线距离公式证法综述

在学习了点到直线距离公式后 ,总觉得课本上对这一公式的证明比较繁琐 .其实 ,这一公式还有多种证法 .设P(x0 ,y0) ,L :方程Ax +By+C =0(A ,B不同时为零 )当A =0或B =0时公式显然成立 ,因此 ,这里只证明A ≠ 0 ,B≠ 0时的情况 .已知 :P(x0 ,y0 ) ,L :Ax+By +C =0(A ≠ 0 ,B ≠ 0 ) ,求证 :P到L的距离d =｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .证法一 :过P点作L的垂线交L于Q(x1 ,y1 ) ,则kPQ =BA∴ x1 -x0y1 -y0=AB ①∵Ax1 +By1 +C =0 ,∴将其变形为A(x1 -x0 ) +B(y1 -y0 )=-(Ax0 +By0 +C) ②联立①②得 :x1 -x0 =-A(Ax0 +By0 +C)A2 +…     

例谈用导数的几何意义求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为:y-y0=f’(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.     

交轨法的灵活应用

若所求轨迹上的动点是某两条曲线的交点 ,则可考虑从这两条曲线的方程中消去它们共同的参数 ,进而得到变量x ,y的关系 ,即交点的轨迹方程 ,这种方法称之为交轨法 .一、关于曲线的交点关于两条(或多条 )曲线的相交 ,可以通过解方程组来解决 .例 1　已知A(a ,0 ) ,B(0 ,b) (a >0 ,b >0 ) ,以AB中点C为中心将线段CA逆时针旋转α(0 <α <π)角得到CP ,求点P的坐标 .分析 :由题意 ,A、P、B、O四点在以AB为直径的圆E :x2 y2 -ax -by =0上 .而∠AOP =12 ∠ACP =α2 ,故点P又在直线l:y =x·tan α2 上 .因此 ,点P为直线l与圆E在第一象限…     

由两道中考试题得出的两个优美互逆性质

在初三复习教学中,下面两道中考题引起了笔者的注意:试题1(2008南通)如图1,已知双曲线y=k/x与直线y=1/4x相交于A,B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=k/x上的动点.过点B作BD//y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC//x轴交双曲y=k/x于点E,交BD于点C.(1)若点D坐标是(-8,0),求A,B两点坐标及k的值.(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.     

谈谈曲线的极坐标方程定义和证明

一、关于曲线的极坐方程的定义我们知道,在平面内建立坐标系的目的是为了建立平面内的点与实数对的对应,进而建立曲线与方程的对应,再通过研究方程的代数性质来掌握曲线的几何性质。在直角坐标系中,平面内的点与它的直角坐标的对应是一一对应。在此基础上,给出了曲线的直角坐标方程的定义:设有曲线C和方程f(x,y)=0,若(1)曲线C上任一点的直角坐标都能满足方程f(x,y)=0;(2)以方程f(x,y)=0的任一组解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0叫     

高中数学对称问题分类解析

一、点关于已知点或已知直线的对称点问题1.若点P(x,y)关于点(a,b)的对称点为P'(x',y'),则由中点坐标公式得x'=2a-x,y'=2b-y2.若点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=0的对称点为P'(x',y'),则x'=x-2AA2+B2(Ax+By+C),y'=y-2BA2+B2(Ax+By+C)证明∵PP'⊥L,PP'的中点在直线L上,∴Ax'+By'=-Ax-By-2C,y'-yx'-x(-AB)=-1(B≠0)解此方程组便可得前面的结论.三种特例:(1)点P(x,y)关于x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y);(2)点P(x,y)关于直线x=a和y=a的对称点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y);(3)点P(x,y)关于直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,…     

例谈共交点曲线系方程的应用

我们熟知下述结论：若曲线C1：f1（x,y）=0与曲线C2：f2（x，y）=0有公共点P（x0，y0），则方程f1（x,y）＋λf2（x,y）=0的曲线也过点P（不包括曲线C2）（详见人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学教科书（必修）第二册（上）P．99）．     

二次曲线弦的中点轨迹的求法

求动弦的中点轨迹,历来都是高考的重点、难点,也是热点.本文介绍三种解法、思路新颖、清晰、解法简捷、达到化繁为简,化难为易目的.1用中心对称求二次曲线弦的中点轨迹我们知道,圆锥曲线1C:F(x,y)=0,关于点00M(x,y)中心对称的曲线2C的方程是:00F(2x?x,2y?y)=0.若曲线1C和2C相交     

x0x＋y0y=R^2的几何意义及其应用

1 x0x y0y=R2的几何意义 我们知道,若P(x0y0)在圆x2 y2=R2上则x0x y0y=R2是过P(x0y0)点的圆的切线;若P(x0,y0)在圆外,过P点作圆的切线PA,PB,其中A,B是切点,则x0x y0y=R2是直线AB的方程;若P(x0,y0)在圆内,直线x0x y0y=R2与圆x2 y2=R2外离,其几何意义是什么?笔者在研究这个问题时,发现其几何意义是:过P(x0,y0)任作一弦AB,过A,B分别作圆的切线l1、l2,l1、l2交点的轨迹是直线x0x y0y=R2.