数学追本溯源之差角余弦公式的四种推导证明

本文横纵对比教材的变新过程,分别从圆的内接四边形、单位圆、向量、三角形四个角度给出推导证明,旨在追求数学知识的通透理解。     

两角差的余弦公式的不同推导方法

在学完任意角的三角函数后,接下来就是三角函数的恒等变换,而两角差的余弦公式的推导过程是学习后面三角函数恒等变换的重要基础,两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式都是在两角差的余弦公式上变形得来的,所以两角差的余弦公式的证明与推导作为基础公式,得到了广大高中教师与学生的高度关注.引导学生认真体会各版本教材的两角差的余弦公式的推导方法,能提高学生对公式的理解与记忆能力,能帮助学生有效解决恒等变换问题.     

两角和差余弦公式的一种推导方法

两角和与差的余弦公式,即 cos（α＋β）=cosαcosβ—sinαsinβ; cos（α-β）=cosαcosβ＋sinαsinβ． 对该公式常利用单位圆及两点间距离公式进行推导,这里将介绍一种不同的推导方法．     

《两角差的余弦公式》教学案例

1 教学目标(1)知识与技能目标:理解两角差的余弦公式的推导过程,掌握并能初步应用两角差的余弦公式;(2)过程与方法目标:创设情景素材,揭示知识背景,引发学生学习兴趣,能用多种途径推导公式,通过交流合作,体会向量方法的工具性,了解数形结合转化的数学思想方法;(3)感情、态度与价值观:体会探究的乐趣,培养     

完善用三角函数线证明两角差余弦公式

人教A版数学必修4用三角函数线证明两角差的余弦公式 cos (α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ,叙述如下:我们先对简单的情况进行讨论.如图1,设角α、β为锐角,且β<α,角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠xOP=α-β.过点P作垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线.这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C,那么OA表示 cosβ,AP表示 sinβ,并且∠PAC=∠P1-1Ox=α.于是OM=OB+BM=OB+CP=OA cos α+AP sin α= cosβ cosα+ sinβ sinα.值得注意的是,以上结果是在α、β、α-β都是锐角,且β<α的情况下得到的.要说明此结果是否在角α、β为任意角时也成立,还要做不少推广工作,并且这个推广工作比较繁难,同学们可以自己动手试一试.     

基于MPCK视角下的高中数学公式推导的教学建议 ——以两角差的余弦公式推导为例

以两角差的余弦公式推导的教学为例,探讨基于MPCK的视角下,高中数学公式推导教学的方法、措施及关注点,提出了MPCK视角下的高中数学公式推导教学的建议.     

从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导

<正>近期观看了科幻大片《星际穿越》,影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念,让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学,数学是一切自然科学之王,而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一,有些人认为三角学是古老的数学,应该弱化.但从现行高中数学教材来看,仍是对三角学比较重视,确实三角学属于经典数学中的知识,之所以经典有其原因所在,三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想,     

两角差余弦公式的四种证法

1．用向量 证法1在直角坐标系中,以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,以原点为顶点,z轴的非负半轴为始边作角a,     

将无字证明引入课堂--两角差余弦公式》教学有感

三角恒等变换是三角学得以大放异彩的一个基础,众多眼花缭乱的优美等式都可以简单地利用诱导公式和一个基本恒等式推演而得．人教A版必修四第三章从两角差余弦公式开始了各三角恒等变换的推导历程,因此本公式是整个三角学中的一个核心公式．     

两角和和与差正弦公式的新证明

由于考虑知识结构的连贯性,在高中数学必修4的教学过程中,很多学校选择第一章（三角函数）讲授结束后,讲授第三章（三角恒等变换）,最后讲授第二章（平面向量）．但在第三章两角和与差的余弦公式证明过程中,用到了向量的数量积表示,因此,造成困惑．笔者想到一种两角和与差正弦公式的证明方法,再利用诱导公式可以得到两角和与差的余弦公式     

“两角和与差的余弦”的教学设计

<正>余弦的差角公式是推导教材中相关公式的基础,其推导过程本身也极具价值.因此,在教学过程中,公式的得出及简单应用是主线,从方法上为今后的学习及应用提供理论依据.而在公式推导过程中贯穿着化归与数形结合的思想及与向量的联系、加深了学生对向量两个维度的本质理解、提炼出"算两次"的思想方法,这是本节课的暗线,也是教     

基于《两角差的余弦公式》的同课异构案例评析

同课异构是指不同教师面对相同的教材和不同的学生,使用不同教学策略讲授同一课题的一种教研活动.同课异构通常在一个相对集中的时间段内,在同一所学校的不同班级进行.由于执教者来自不同的学校,生源情况与教学风格不尽相同,因而同课异构常能折射出不同的教学理念,进而使观摩者可以在比较中反思,在反思中提高.正因如此,     

引导自主探究 发展思维能力——两角差的余弦公式教学案例

现行的《普通高中课程标准实验教科书》不仅为学生提供了应用数学知识解决各种数学问题的机会,而且还为学生开辟了"观察与猜想"、"阅读与思考"、"探究与发现"、"信息技术应用"等拓展性栏目,供学有余力的学生自主探究.新的《课程标准》也指出:"学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的能力型知识,这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动.有效地数学学习活动不     

两角和与差的余弦

入选理由:整节课的设计不仅仅在于数学知识的传授与应用, 还时时处处渗透着数学思想,这可能是高中数学课不同于其他学段数学课的显著特点。     

理解教材 用好教材——教“两角差的余弦公式”后想到的

<正>数学的逻辑严谨性主要体现在数学概念的系统性上,后继概念大多是在前概念基础上的逻辑建构.因此,数学课堂教学中教师要把教材提供的知识内容进行有效激活,并结合学生的数学思维发展水平,立足于学生的最近发展区,立足于构建"前后一致逻     

也给用向量法解几何题唱唱反调

在大量例子研究的基础上,整理归纳并推广2类典型向量问题的解法。对每一例子,提供从代数或图形2种角度进行求解的方法,并通过对比得出构造几何图形解向量题的巧妙之处。     

把握动态生成,构建和谐课堂——听“两角差的余弦公式”有感

1 背景介绍轰轰烈烈的新课程改革实施已有时日,新课程的理念也已深入人心,但是实际实施的情况究竟如何呢?笔者有幸到省内外几所学校听取了几位教师执教的同一堂课,课文是选自人教版3.1.1两角差的余弦公式,听完之后感触颇多,新课程标准明确提出要     

示范案例1：两角和与差的余弦

教学目标： 1．通过构造三角形探索推导两角差的余弦公式，初步体会从特殊到一般及构造法的思想；2．理解利用角的任意性、通过代换导出两角和的余弦公式及第六、第七组诱导公式的方法；3．掌握两角和与差的余弦公式及第六、第七组诱导公式，熟练运用公式进行求值、化简；4．通过以上公式的推导和转化，发展学生的思维能力和培养探究数学的兴趣。     

利用向量法 巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容．由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现得更深刻、更完善．本文试图适当构造向量。来探究一些竞赛试题的新解法．     

例谈几何法与向量法的应用

空间角的求解是近几年高考的必考点,具有一定的难度,所以学生应熟练掌握此类问题的常用解题方法——几何法和向量法,前者侧重于图形的分析,后者侧重于代数化运算。通过对比相关问题的求解可知,解题时应优先考虑向量法,这样更便于分析与求解。