圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

一道光学背景下的高考压轴题

在椭圆中,有一个非常重要的光学性质,即一束光线从一个焦点射出,经椭圆反射后会射向另一个焦点. 定理椭圆上任意一点的切线和该点的法线分别是通过该点的两条焦半径所成内外角的角平分线. 证明 如图,设直线CD与椭圆切于P点,PM为该点的法线.设椭圆的方程为:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),设P(x0,y0)(y0≠0)为椭圆上任意一点,则椭圆在P点的切线斜率为-b2x0/a2y0,因为法线PM与切线垂直,故其斜率为:k=a2y0/b2x0.     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…     

圆锥曲线的一个性质

引理1:椭圆b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)上A、B两点的切线交于P(x0,y0),则AB的直线方程为b2x0x a2y0y=a2b2证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则过A,B的切线方程分别为b2x1y a2y1y=a2b2,b2x2y a2y1y=a2b2,因P点是两切线的公共点,故(x0,y0)同时满足上述两方程,应有b2x0x1 a2y0y1=a2b2,b2x0x2 a     

教师的经验要顺从学生的思维——一道测试题的解题教学实践与思考

1 试题概况 在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点. (1)若P(-1,√3),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程; (2)若PA/PF是常数,求椭圆C的离心率; (3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在x轴上的射影为点G,直线EG交椭圆C于另一点H.问是否存在正实数a,使得对于任意k＞0,都有DE上DH?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

一道高考题引发的问题及探究

1 一道高考题及引发的问题 2009年山东省高考理科卷(22)题: 设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O为坐标原点, (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且→OA上→OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在,说明理由.     

题库(二十二)

1·已知a,b为正实数,且满足a+b=2.(1)求1+1a+11+b的最小值;(2)猜想1+1a2+1+1b2的最小值,并证明;(3)求1+1an+1+1bn的最小值;(4)若a+b=2改成a+b=2p(p≥1),猜想1+1an+1+1bn的最小值.2·已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.3·设曲线C:y=x2(x>0)上的点P0(x0,y0),过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q…     

圆锥曲线中点弦问题的解题策略

直线和圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中以弦的中点问题最为丰富多彩.中点弦问题是中学数学的一类重要问题,解决圆锥曲线的中点弦问题,有以下几种策略.1“设而不求”的策略例1已知P(1,1)为椭圆22194x+y=内一定点,过点P的弦AB被点P平分,求弦AB所在直线的方程.分析常规思路设直线AB的斜率为k由方程组求A、B的坐标,由AB的中点坐标建立k的方程求k,但注意到弦的中点坐标公式x=12(x1+x2),y=12(y1+y2),故可用韦达定理,绕过求交点的步骤.设所求直线的方程y=k(x?1)+1,并过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由方程组:22(1)1,1,94y k xx y????…     

剖析二次曲线的切线方程的结构

求圆、椭圆、双曲线、抛物线的切线方程,思路明确,但其计算量往往令人“算而却步”,下面就上述四种曲线,来剖析它们切线方程的结构特征,以飨读者. 对于二次函数的切线方程我们是会求的,如求曲线y=px2(p≠0)在点(x2,y0)处的切线方程.斜率k=f1(x0)=2px0,由点斜式知:切线方程为y-y0=2px0(x-x0)(→)=y+y2/2=px·x0,即把原函数表达式中的y换成y+y0/2,把x2换成x·x0.     

错在哪里

一、山东广饶一中侯良田、吉林伊通县第五中学王伟来稿题:求椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线被其对称轴所截的最短线段的长。解:设 P(acos,bsin)为椭圆上一点,则 P 点的切线方程为xcos/a+ysin/b=1不妨设是锐角(椭圆是轴对称图形),则切线与 x 轴正向、y 轴正向的交点分别是A(a/cos,0),B(0,b/sin)     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

用替换的思想证一个圆锥曲线定值问题

命题1过椭圆xa22 yb22=1上点P(异于长轴端点)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于P).求证直线AB的斜率为定值.证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.由y=k(x-x0) y0b2x2 a2y2=a2b2消去y得(b2 a2k2)x2 2k(y0-kx0)a2x a2(y0-kx     

一道高中数学联赛试题的探究与发现

正题目给定椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(ab0),⊙O:x2+y2=b2,自椭圆上异于其顶点的任意一点P作⊙O的2条切线,切点分别为M,N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:a2/n2+b2/m2=a2/b2.(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)1探索试卷提供的解法较为繁琐,且技巧性较高.其实,运用"设而不求"的数学思想,容易得到本题的     

不求交点的技巧

题　求证　椭圆 x22 5 +y29=1和双曲线 x21 5 -y2 =1在交点处的切线互相垂直。学生往往先求出椭圆与双曲线的交点坐标 ,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程 ,进而由两切线斜率的乘积为 -1 ,得到切线互相垂直的结论。思路自然 ,但解题过程却比较繁琐。其实本题有如下简捷的解法。证明　设两曲线交点为 (x0 ,y0 ) ,则过交点的两曲线的切线方程为 :l1:9x0 x +2 5 y0 y =2 2 5 ,l2 :x0 x -1 5 y0 y =1 5 ,∴k1=-9x02 5 y0,k2 =x01 5 y0,k1k2 =-9x202 5× 1 5 y20①∵交点 (x0 ,y0 )在两曲线上 ,所以9x20 +2 5 y20 =2 2 5 ,x20 -1 5 y…     

一道“中点弦”问题解法的背景研究

1问题的提出试题已知椭圆C:x²+4y²=16,过点P（2,1）作一直线l交椭圆C于A,B两点,若点P为交点弦AB的中点,求直线l的方程.这是一道我校"圆锥曲线与方程"一章阶段测试的试题,讲评试题时笔者采用的是"点差法"与"设而不求"两种常规方法,课后有一位同学提出教辅材料中介绍的一种简解方法如下:将点P（2,1）代入椭圆的切线方程x₀x+4y₀y=k,得2x+4y=k,点P（2,1）在此直线上得k=8,则直线l的方程为2x+4y=8即     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0 ,y0 )是椭圆x2a2 y2b2 =1 (a>b>0 )上一点 ,求作过Q点的切线 ,文 [1 ]给出了一种尺规作法 ,若Q在非顶点处 ,文[1 ]作法的实质是 :取点P(x0 ,ay0b) ,作PN⊥OP(O为坐标系原点 ) ,交x轴于N ,则直线NQ为所求的切线 .我们指出 ,当b>a>0时 ,这种作法同样正确 ,过双曲线上一点作双曲线的切线也有类似的作法 .已知双曲线 x2a2 - y2b2 =± 1上一点Q(x0 ,y0 ) ,过Q点的切线方程是x0 xa2 - y0 yb2=± 1 ,当Q不是顶点时 ,该切线的斜率为b2 x0a2 y0.下面给也切线作法 :作法 :( 1 )若Q为双曲线顶点 ,则切线垂直于Q点所在的轴 .( 2 )或Q…     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…