一组反三角恒等式的应用

arc sinx+arc cosx=π/2(|x|≤1),arc tgx+arc ctgx=π/2是反三角函数里的一组重要恒等式。但这组公式的应用,课本上未予涉及。本文补充几个应用的例。 [例1] 比较cos(arcsinx)和arcsin(cosx)的大小(|x|≤1)。     

一个三角条件不等式的简便证法

“sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8,(A+B+C=π)是三角形中常用到的一个不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集、数学资料都把以下二个证法作为基本证法证法一:设sinA/2sinB/2sinC/2=t 则t=1/2(cos(A-B)/2cos     

一个不等式的证明

最近郭燕翔同志来信问了下面的问题:“若a>1,求证(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/n”。(1) 在解答这个问题时,得到了8种证法,今按初等证法,数学归纳法及高等数学法依次列举如下。 (一)、初等证法: 证法1 由(1)有     

一类反三角函数的求值问题

我们知道复合函数y=sin(arc sinx)在定义域x∈[-1,1]上都有sin(arc sinx)=x.对于复合函数y=arc sin(sinx)的问题,现行教材仅讨论了x∈[-πc/2,π/2]时,arc sin(sinx)=x的情形,实际上,这个复合函数的定义域是x∈R,而值域是y∈[-     

一个典型错误的剖析

一本刊1984年第6期刊登了司力同志的《一个三角条件不等式的简便证法》(以下简称《证法》),有不妥之处,现抄录如下,并剖析之。《证法》中讲: ”sinA/2 sinB/2 sinC/2≤1/8,(A B C=π)是三角形中常用到的不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集,数学资料都把以下二个证法作为基本证法。这两个证法均显得麻烦,而且还都是不妥当的。”笔者认为:这两个证法都十分正确,只是稍显一点麻烦而已。《证法》中讲:“大家知道,证法一称为配方法,     

间接证法质疑

什么叫做间接证法?间接证法的外延是什么?对这两个问题的回答,众多的初等数学研究教材或数学专著的答案很不一致,表现在以下三个方面:(1)对间接证法的界定不一致;(2)间接证法的外延不“同一”;(3)同一本专著里,间接证法的定义及其外延不和谐。 就间接证法概念的外延来看,主要有以下几种情况     

特殊·猜想·证明

许多数学问题,常常研究它的特殊情况,这样比研究一般情况容易。以特殊情况的结论作为猜想,证明它适合一般情况,这是解题中的一种重要思考方法。例1 求S_n=arc tg1/2+arc tg1/(2·2~2)+ arc tg 1/2·3~2+…+arc tg 1/2·n~2的和。解:特殊情况: 当n=1时,s_1=arc tg 1/2, 当n=2时,s_2=arc tg 1/2+arc tg 1/2·2~2     

一个反三角恒等式的新证法

高中《代数》上册(必修)第282页例2,求证:arctgx arcctgx=π/2。 本题有多种证法,下面笔者给出一个新的简洁证法。     

课本中一道例题的深化

通用教材高中平面解析几何第116页上有这样一道例题: 例求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。课本首先解方程组,求得“它们有四个交点:P_1(5(15)~(1/2)/,3/4)…”笔者认为,教学中讲完课本证法后,引导学生探求新的证法是很有意义的。新的证法如下:     

也谈基本不等式组的几何证法

[1],[2]文介绍了基本不等式组(2ab)/(a+b)≤(ab)~(1/2)≤(a+b)/2≤((a~2+b~2)/2)~(1/2)的几何证法,本文再介绍几种几何证法,这几种证法都很简单,它们与[1],[2]文的证法比较起来,直观性更好,并且比[1]、[2]文还多证了一种平均值,即负二次幂平均值     

一个常见不等式的别证

题设a>0,b>0,a b=1,求证: (a 1/a)~2 (b 1/b)~2≥25/2 该题在不少数学参考书上都有出现,但其证法繁杂,现给出以下两种证法,供读者参考。     

反三角函数性质的几何解释

掌握反三角函数性质的几何解释,可以加深对性质的理解,使数形结合。 (1) 反正弦函数y=arc sin x是奇函数,有性质: arc sin(-x)=-arc sinx,这个性质可从其图象上:明显地看出同样arctg(-x)=-arctgx也可从图象看出 (2) 反余弦函数y=arc cos x,它不是奇函数,也不是偶函数,但有性质     

对《谈教材习题的引申》一文的更正与补充

该文(载《中等数学》1985年第5期)在2.例1中给出的y=arc tg(tgx)、y=arc ctg(ctgx)的表达式与图形是错误的,现更正如下:     

陈题新解

贵刊于94年第7期及96第一期两次介绍了不等式“设x≥0,求证:(2 x)/(1 x).(1 (2 x)~2)~(1/2)≥2 2~(1/2)”.的多种证法,其他多家中数期刊也曾多次进行讨论,这里提供一种最为简捷的新证法——三角代换.     

一个反三角函数关系式的两种直观证法

反余切,反余弦函数有如下关系式: arc ctg(-x)=π-arc ctgx,x∈(-∞,+∞) arc cos(-x)=π-arc cosx,x∈[-1,1] 本文以第一个公式为例,利用图象的几何直观性,介绍两种证明方法,可在学生复习时用。∵ y=arc ctgx是y=ctgx (x∈(0,π))的反函数,其图象关于直线y=x对称,而y=ctgx(x∈(0,π))的图象关于点(π/2,0)对称,∴y=arc ctgx的图象关于点(0,π/2)对称。     

灵活掌握三角恒等变形——从一道成人高考试题谈起

1987年全国成人高校统一招生数学(文史类)试题的第六题是:证明sin~22x++2cos~2xcos2x=2cos~2x,标准答案为: 左端=(2sinxcosx)~2+2cos~2x(cos~2x--sin~2x)=4sin~2x cos~2x+2cos~4x-2sin~2xcos~2x=2cos~2x(sin~2x+cos~2x)=2cos~2x=右端。 (证法一) 该题证法很多,只要掌握sin2x=2sinxcosx,cos2x=cos~2x-sin~2x=2cos~2x-1=1-2sin~2x及sin~2x+cos~2x=1,则可以从不同角度入手证出,试举几种如下: 证法二     

一道竞赛题的证明与推广

题目:设0相似文献   

一道课本习题的多种证法

<正> 全日制普通高级中学(实验修订本)第二册(上)第31页的第6题:设a、b、c为△ABC的三条边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).教学参考书中给出了一种证法,这里给出另外五种证法,供大家参考.     

复数在反三角函数中的应用

利用.两个复数相乘(渤.其幅角相加(减)。.远过复数运算可较为方便地证(勒得反三角函数间的等量与不等量关系。二、证明题:例,.证明arcsi喘 arcsin矗一晋一、已知幅角、设复数:1.,.’ sin(are sin劣)=劣 cos(arc sin劣)=斌1二芬.’.以盯。51。二为幅角的复数可设为:证:设a1’gz1一arc sin荞由-、.’.取,:一5 ,2f祝了三百三 二O(其中几为不为零的任何正实数.下同) 2。,.’ cos(arc eos幻。x sin(arc eos幻,双1不矛 :.以arc cos二为幅角的复数可设为:叙、 澎下玉豆Q3.:cos(arctsx)一万万旨 、男Sln La代[g万)=一7二于亏书亏 材1宁汤.同理,设a…     

一道代数不等式的解几证法

有这样一道常见的代数不等式: 已知a、b为正数,则 [2/(1/a+1/b)]≤√ab≤(a+b)/2≤[(a~2+b~2)/2]~(1/2) 这道不等式的代数证法是十分容易的,许多杂志已经研究了它的一些有趣的平几证法(如本刊1984年第1期第34页),读后深受启发,使人耳目一新。笔者通过探索,试图应用抛物线的一些知识,给出此不等式的一种解几证法。证如图,过抛物线焦点弦PQ的端点作y轴