对一道立体几何习题的剖析

在高中《立体几何》第103页有这样一道习题:从一个正方体中。如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几? 易见三棱锥A-BCD的体积即为正方体减去四个被截去的三棱锥的体积,其答案为1/3.这是用割补     

正四面体的伴随正方体

1．由来 人教版高二（下）第52页有这样一道习题： 从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几．     

割补法在立几中的应用

正方体截去四个三棱锥后(如图)得到一个以面对角线为棱的正四面体 ABCD,反之,正四面体补上四个三棱锥后则还原为原来的正方体,其面对角线即为正四面体棱长,且这个正四面体的体积的正方体体积的1/3.实际上,这里的“截去”或者“补上”就是典型的割补法.在立几中,割补法的应用很广泛,请看下面例题.     

一类组合计数问题解答的转化思路

排列、组合中有一类题的解法非常特别,深藏于其中的数学转化思想含而不露,给人留下"醉翁之意不在酒"的梦幻感觉.例1正方体的八个顶点的连线中,异面直线共有多少对.分析一个三棱锥各组对棱所在直线均异面,问题可转化为正方体8个顶点中任取4个可组成多少个三棱锥.     

构造正方体模型巧解高考立几题

正方体是高中立体几何中一种重要的多面体,同时也是一种重要的立几模型.不仅因为正方体中有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等,并且正方体中棱长、侧面对角线、正方体对角线及点面距离存在着特殊的数量关系.根据正方体的这些特点,可以把求正四面体、三棱锥、四棱锥等问题转化为正方体模型处理,不仅     

一道竞赛选择题的反例及联想

1997年江苏省高中数学竞赛试题第一(5)题是一道判断四个命题真伪的选择题,由于构造不出满足条件的四个反例,导致选择失误 。 为便于解答,现将原题抄录于下: 下列四个命题: 命题1 底面是正多边形其余各面都是等腰三角形的棱锥是正三棱锥。 命题2 底面是正三角形相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 命题3 有两个面互相平行,其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台。     

一个特殊几何体的多角度命题

若把具有相同底面的两个正四棱锥的底面重合在一起,则得到一个特殊的几何体．该几何体既继承了正四棱锥的所有性质,又蕴藏着正八面体的部分几何特征,还与正三棱锥、正方体还有着密切的关系．这种特殊的几何为我们来考查学生的各种数学能力提供了丰富的素材,因此深受命题者的青睐．全国各地的命题专家从各自的命题思想或思考角度出发创造了许多新颖的立体几何压轴题．     

补形,有规律可循(高二)

1.正四面体补为正方体例1 求棱长为1的正四面体的体积. 分析 常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求,但要首先求出此三棱锥的高,求高比较繁琐.如果将正四面体ABCD补形为正方体(如图1),那么此正方体的棱长为 ,因此,求正四面体的体积便有了新的求解思路:     

盘点正方体中的四面体、三角形、异面直线

<正>问题1以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个?(人教版第二册下B第132页第2题)分析从8个顶点中任取4个点有C84种取法,但正方体的六个表面中的四个点以及     

特殊三棱锥的顶点在底面上的射影

熟悉各种特殊三棱锥的顶点在底面上射影的位置,对于解答有关三棱锥问题是有益的,为此,我们把常见的几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影的位置归纳为以下几个命题,并给出简单的证明. 命题1:若三棱锥的侧棱都相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心.     

一道课本习题的引伸与应用

由立几课本108页习题十三的第1题(新教材第二册下(A)59页第8题)可知。正方体截去四个三棱锥后．得到一个正四面体．若设正方体的棱长为a．正四面体的棱长为a′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′．正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r′，易知有如下结论：     

如何理顺立体几何的知识网络

一、建立立体感和空间概念,注意平面几何和立体几何在概念上的区别与联系 例1 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;     

正方体中三棱锥的三视图研究

通过对一个高考三视图试题引发的思考和联想,拓展、引申出关于正方体中各种不同类型的三棱锥的三视图.这些三棱锥的三视图结论有一定规律,对这些三视图具有的规律进行提炼、归类、拓展和总结.     

正方体中三棱锥的三视图研究

通过对一个高考三视图试题引发的思考和联想,拓展、引申出关于正方体中各种不同类型的三棱锥的三视图.这些三棱锥的三视图结论有一定规律,对这些三视图具有的规律进行提炼、归类、拓展和总结.     

以正方体为载体设计试题的若干途径

正方体是高中立体几何一种重要的模型.正方体自身具有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线还可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等;同时,正方体中棱长、面对角线、体对角线及点面距离间     

高考数学试题中的正四面体

正四面体是最为简约而又优美的多面体,它有4个顶点、4个面、6条相等的棱,它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中,多次出现正四面体的有关计算问题,主要有三种类型：(1)正四面体的计算；(2)正四面体与正方体的计算；(3)正四面体与球的计算。由于可以把正四面体补成正方体,而正方体与球的关系又甚为密切,因此在正方体中研究正四面体的有关性质,确实掌握正四面体与其外接正方体,正四面体与其外接球、内切球之间的关系是快速而正确解答正四面体有关问题的基础。     

旋转巧解四例

一、巧举反例例1（2005年全国高考题）下列是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中,     

巧构正方体 速解高考题

一、将正四面体补成正方体例1(2006年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()(A)4273π(B)62π(C)68π(D)264π解析:根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1.以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2.则正方体的棱长为22,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为26.又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为46.所以,V球=43πr3=43π(46)3…     

构图巧解 正四面体——构造正方体速解正四面体问题

我们知道,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以A、C、B1、D1为顶点四面体是正四面体,对于正方体我们比较熟悉,因此对于涉及正四面体的问题,可以构造其相应的正方体,从而转化为解决正方体的相关问题.兹举例加以说明.【例1】如图1,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于().A.90°B.60°C.45°D.30°解:由题意,三棱锥S-ABC是正四面体,将它放在正方体AMBN-DCGS中(如图2),易见SC的中点E与AB的中点F的连线恰好是正方体的高,故EF∥AD,异面直线EF与SA所成的角就是DA与SA所夹…     

构造标准体

1．构造正方体 例1 棱长都是a的正三棱锥,连结各侧面的中心得一个三角形,求此三角形的面积．