关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

从一个条件极值问题谈起

请看下面的问题:当变数x,y满足条件:4x~2-5xy 4y~2=5时,求函数W=x~2 y~2的最大值和最小值。显然这是一个条件极值问题。联想到x~2 y~2表示动点P(x,y)到原点的距离平方,因此本题实际上是求曲线4x~2-5xy 4y~2=5上的动点P(x,y)到原点的距离(的平方)的极值问题。从这个几何意义及方程4x~2-5xy 4y~2=5的对称性出发,我们至少可以得到以下四种解法:     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,     

一道课本例题的变式教学

正随着新课改的不断深入,很多教师越来越重视课本中的例题教学了.大家的共识是:对课本中的例题进行变式教学,有利于提高数学课堂的教学效益.现举一例,说明如下.例题计算:(x-3)(x+3)(x~2+9).(苏科版七年级(下).解原式=(x~2-9)(x~2+9)=x~4-81.变式1计算:(1)(xy-3)(xy+3)(x~2y~2+9);(2)(x-3y)(x+3y)(x~2+9y~2);解(1)原式=(x~2y~2-9)(x~2y~2+9)=x~4y~4-81;     

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).     

x~2 xy y~2的变形及其应用

灵活运用代数式x~2 xy y~2及其三个变形式x~2 xy y~2=(x (y/2))~2 (3~(1/3)y)~2≥0,x~ xy y~2=x~2 y~2-2xycos120°,x~2 xy y~2=(x-y)~2 3xy≥3xy能使某些问题化生为熟、化难为易,现以高考、竞赛题为例说明如下。     

添加辅助圆解一类解析几何题

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为     

也谈条件等式的一些证法

本刊1984年第1期上何平老师的“条件等式的一些证法”一文,读后收益不少。但我们感到还可以作些补充。因式分解法有以下几种情况: 1、通过对已知条件分解因式,获得某种简单关系,使证明得到解决。例1 已知x~2-yz=y~2-zx,x(?)y,求证z~2-xy=y~2-zx。证由已知x~2-yz=y~2-zx,移项得 x~2-y~2+zx-yz=0,分解因式得(x-y)(x+y+z)=0,∵x(?)y,∴x+y+z=0。①又z~2-xy-(y~2-zx)=(z-y)(x+y+z),     

“希望杯”中的五例最值问题

例1若代数式2/3x~2+3/2y~2+4x-3y+17的最小值为m,另一代数式-1/2x~2-1/3y~2+x-     

注意隐晦条件

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。     

因式分解五忌

把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.正确理解因式分解的概念是学好因式分解的前提,要注意因式分解的"五忌".1.忌部分分解例1分解因式:x~2-y~2-z~2-2yz.错解原式=(x+y)(x-y)-z(z+2y).分析错在只是分解了原式的某些部分.正解原式=x~2-(y~2+z~2+2yz) =x~2-(y+x)~2=(x+y+z)(x-y-z).     

完善一道题的解答

第一届希望杯初一第二试有一道填空题:当m____时,二元二次六项式6x~2+mxy-4y~2-x+17y-15可以分解为两个关于 x,y 的二元次三项式的乘积.给出的答案是 m=5.我认为该答案有疏漏.事实上,若将原式视为关于 x 的多项式,并整理为6x~2+(my-1)x+(-4y~2+17y-15),其判式⊿_x=(my-1)~2-4×6(-4y~2+17y-15)=(m~2+96)y~2-(2m+408)y+361.则原式能分解为两个一次实因式的充要条件是Δ_x为一完全平方式.显然,Δ_x是关于 y 的二次三项式,Δ_y=(2m+408)~2-4(m~2+96)×361,由Δ_y=0可得15n~2-17m-290=0,解之得 m=5或 m=-58/15,当 m=5时,原式分解为(3z+4y-5)     

复习不等式的几点意见

一、从反面来巩固正面知识进行新课,宜从正面入手。因为学生接受知识往往先入为主,正面未巩固,即渗入反面,可能引起思维混乱,以致喧宾夺主。但复习课是在学生已有一定的基础上来进行的,除去从正面系统概括所学过的知识以外,列出一些易犯的错误,让学生自己指点出来,以加深印象,对正面知识却可起巩固作用。这里根据平常教学不等式时,从测验与作业中归纳了一些较普遍性的错误,并作了粗线的分析,提供同志们组织复习时参考。 1.由于数的概念与绝对值概念不清所引起的错误。例如已知x,y为非0的实数,试比较(x/y~2) (y/x~2)与1/x 1/y的大小。学生作出了如下的论断: 因为(x/y~2 y/x~2)-(1/x 1/y)=(x~3 y~3-xy~2-x~2y)/(x~2y~2) =((x y)(x~2-xy y~2)-xy(x y))/(x~2y~2) =((x y)(x-y)~2)/(x~2y~2)=(x~2-y~2)(x-y)/(x~2y~2)。分母x~2y~2>0,分子(x~2-y~2)与(x-y)同符号,其积     

错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

妙在增设

例1 解方程5x~2 x-x(5x~2-1)~(1/2)=2.解:令 y=(5x~2-1)~(1/2),则5x~2=y~2 1,原方程化为:y~2 1 x-xy=2,y~2-1-x(y-1)=0,     

两二次曲线四交点共圆的充要条件

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。     

怎样教学生用换元法解方程

要想提高学生用换元法解方程的能力,应当抓住以下三个问题。用字母表示代数式的能力是用换元法解方程的基础。为了提高学生用字母表示代数式的能力,可以进行这样的训练:将方程中的未知数x换成单项式、多项式、分式或根式。如将7x~2-19x 10=0中的x换成y~2,方程变为7y~4-19y~2 10=0;将x换成y~2-4y 6,方程变为7(y~2-4y 6)~2-19(y~2-4y 6)     

二元函数的最值

通常我们求二元函数s=f（x,y）的最值,一般具有约束条件g（x,y）=0（或g（x,y）≤0）,这类二元函数的最值称二元函数的条件最值。一般采用消元法,即从s=f（x,y）中消去一个变量,化为一元函数后,使用判别式法,不等式法,几何法等解之,但必须注意在约束条件下的x,y的取值范围对结果的影响。 1、函数法 例1已知x+2y=4,求x~2+y~2的最小值。 解:由x+2y=4,得x=4-2y,代入s= x~2+y~2中,得s=（4-2y）~2+y~2=5y~2-16y+16=5（y-8/5）~2+16/5。     

怎样运用三角代换解题

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.