神秘数及其性质

数学兴趣小组组长小明宣布这次活动的主题是:"神秘数及其性质."小芳心直口快,抢先发问:"什么是神秘数?好迷人的名字."小明笑了笑说:"名字的确迷人.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为神秘数.比如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此,4,12,20这三个数都是神秘数."     

竞赛题中的“新数”

在初中数学竞赛中会遇到一类自定义的"新数",具有某种特征和规律,要求学生根据这个定义来解题.这类题具有新意,更能体现学生的探索能力和创新意识.现举例说明如下:例1 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为"智慧数"(如(3=2~2-1~2,16=5~2-3~2).已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,12,13,15,17,19,20,21,23,24,     

巧用质因数

每个合数都可以分成几个质数相乘的形式，其中的每个质数都是这个合数的因数，因此这几个质数也叫作这个合数的质因数。利用质因数相乘，我们可以寻找解答难题的突破口，从而顺利解题。     

运用“最大公约数”与“最小公倍数”的关系巧求解

[题目]两个数的最大公约数是60,最小公倍数是360,其中一个数是180,求另一个数是多少? [一般解法]从质因数的角度去考虑。因为最大公约数是60的两个数都包含60的所有质因数,而两个数的最小公倍数360是两个数公有质因数和各自独有质因数的乘积,所以只要把60、180和360分解质因数,在360的质因数中找到60的所有质因数和180所有质因     

一道加拿大数学奥赛题结果的加强

2002年加拿大数学奥林匹克竞赛中有一道试题： 称正整数n为“好数”,如果任意不大于竹的正整数都可以表示为咒的若干个不同正约数之和．证明：任意两个“好数”之积为“好数”．     

关于酉完全数

设ｎ是大于１的正整数，如果ｄ是ｎ的约数且满足（ｄ，ｎ／ｄ）＝１，则称ｄ为ｎ的酉约数，如果ｎ的所有酉约数之和等于２ｎ，则称ｎ为酉完全数。如果ｎ的每个素因数ｐ，都有ｐ＾２│ｎ，则称ｎ是一个幂数，本证明了任何酉完全数都不是幂数。     

第40届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．若一个正整数的正因数中恰有两个为素数,则称该正整数为“好数”．问：是否存在18个连续正整数均为好数？     

2004年第8期数学有奖竞答答案

一、把下列8个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。14、30、33、35、39、75、143、169,怎么分?分析与解:要使两组数的乘积相等,这两组数中的每个数(即因数)不必相同,但这些数经分解质因数,它们所含的质因数一定相同,这样才能使分成两组数的乘积相等。因此,解这类题首先应把题中所有的数进行分解质因数。14=2×730=2×3×533=3×1135=5×739=3×1375=3×5×5143=11×13169=13×13归纳以上质因数有两个2、四个3、四个5、两个7、两个11、四个13。那么在一组里必须有一个2、两个3、两个5、一个7、一个11、两个13。按质因数13、质因数5分,可分…     

关于“幸运数”的计数问题

如果正整数b的各位数字之积等于正整数a,则称b为a的幸运数.本文证明了幸运数存在性定理,并归纳得到了关于幸运数计数问题的两个命题.     

用短除法求最小公倍数教学浅议

用短除法求三个数最小公倍数的方法,教科书上都强调先用三个数公有的质因数去除,再用两个数公有的质因数去除,除到三个商中每两个数都互质为止。也就是说,用公有质因数去除,不能用合因数去除,否则易出错误。     

这两个定义提法不妥

九年义务教育六年制小学数学教科书第十册对质因数和分解质因数这两个概念的叙述与概念的内涵不符。 定义1:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。     

从智慧数中获智慧

今年《读书时报》21期刊登的“创新杯”全国中学生数学知识竞赛八年级试题中,有这样一道题:如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为智慧数.根据你的判断下列四个数不是智慧数(指能表示成两个自然数的平方差的自然数)的是(摇).A.2001摇B.2002C.2003D.2004粗看这道题,似乎只能尝试拼凑求解,但回顾学习平方差公式后用简便方法计算104×96,就不难发现下面的定理:任何两个正整数的积都可以表示成两个数的平方差.因为:a×b=(a+b2-a-b2)(a+b2+a-b2)(a、b是正整数,a≥b)有了以上定理,那么:任何一个正整数m只有两种可能:①m…     

巧用短除法解题

[题目]两个数的最大公约数是6,最小公倍数是270。求这两个数。[一般解法]根据两个数的最大公约数应包含这两个数的全部公有的质因数可得：这两个数都有质因数2和3。再根据两个数的最小公倍数应等于这两个     

因数分解和因式分解——数学竞赛辅导系列讲座（12）

一、因数分解把一个正整数分解为若干个正整数连乘积的形式,叫做因数分解.例如108=2×54=2×2×27=2×2×3×9=….显然,将一个正整数分解因数可以有多种形式.但是,如果我们要求所有因数都是质数,即把它分解成质因数的连乘积,那就只有唯一的形式,例108=2×2×3×3×3=22×33.[基本知识]1.因数分解定理因数分解有如下定理:每一个大于1的合数都能分解为质因数的乘积的形式,并且把所有质因数按照由小到大的顺序排列起来,相同因数的积写成幂的形式,那么这种分解法是唯一的.(证明略)即正合数N(N>1)可表示为N=p1α1·p2α2·…·pαnn,(*)其中p1<…     

“取”、“去”结合求最小公倍数

求几个数最小公倍数的教学,历来是小学数学教学的难点。我在教学实践中采用了“取”、“去”结合的方法进行教学,使学生容易理解,口掌握最小公倍数的求法。本文针对这一方法简述如下: 一、从“取”理解算理 在学生理解了“一个数的倍数的质因数,一定包含这个数的全部质因数”及“几个数的公倍数的质因数,一定包含这几个数中每个数所有的质因数”的基础上,进行如下教学:     

不只合数能分解质因素

在一堂“分解质因数”的公开课上,教师先通过例子讲授什么是质因数和分解质因数,组织学生阅读课本,进行半独立性练习。后启发学生质疑。有一生问道:“只有合数才能分解质因数吗?”“是的。”教师充分肯定,“不然的话,怎么叫分解质因数呢?”接着表扬了这一学生,并在巩固练习中出了这样一道判断题:能分解质因数的数都是合数。结果95％的学生都判它为对。     

数学中的“自守数”

任何两个整数相乘,只要它们的末位都是5或6,那么,乘积的末位数字也必然是5或6。5或6就像一条甩不掉的"尾巴",始终与它们形影相随!人们称这样的数为"自守数"。     

香港保良局第六届小学数学世界邀请赛队际竞赛试题

1.一个正整数若满足下列全部的条件,则称它是一个保良数。这个数是个四位数; 这个数的每位数字都是48的约数; 这个数的每位数字可以重复出现; 这个数的数字之和为20:     

二进制与数学奥林匹克

二进制是以2为基的记数系统.在这种记数系统中仅有两个数字符号“0”和“1”.每个其他的数可以用这些符号组成的行来表示.一般地,任何一个正整数 a,都可以唯一地表示成     

第46届IMO两道试题另解

题1 设a1，a2，…是整数序列，其中有无穷多项为正整数，也有无穷多项为负整数．假设对每个正整数n，数a1，a2，…，an被n除的余数都各不相同．证明：在数列a1，a2，…中，每个整数都刚好出现一次．