连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…     

相似严格保序部分变换半群L(SPO_n)的秩

自然数n≥5,X_n={1,2,…,n}并赋予自然数的大小顺序,SPO_n=PO_n\O_n是Xn上的严格保序部分变换半群.N(n,r)={α∈SPO_n:|im(α)≤r}是严格保序部分变换半群SPO_n的理想,令L(SPO_n)=N(n,n-2)/[n-2,n-2]=N(n,n-3)∪[n-1,n-2],可证得它是Xn上的相似严格保序部分变换半群,我们得出L(SPO_n)的秩为n~3-3n~2+20n-42/6.     

卢卡斯数列与斐波那契数列的一个关系

定义1:满足条件: F_0=0,f_1=1,(n≥1)的数列{F_n}称为斐波那契数列。定义2:满足条件: L_0=2,L_1=1,(n≥1)的数列{Ln}称为卢卡斯数列。 定理:设{Fn}为斐波那契数列,{Ln}为卢卡斯数列,则对任意的自然数m、n,有: 特别当n=1时,有: 证明:对m,n∈N,对m进行归纳 (i) 当m=1时,有     

递推数列中的数学思想方法例谈

今年全国高考数学理工类压轴题第22题:设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N ),(1)证明,对任意n≥1,an=1/5[3n (-1)n-12n] (-1)n2na0;(2)假设对任意n≥1有an>an-1,求a0的取值范围.文史类第19题:已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1 an-1(n≥2)(1)求a2,a3;(2)证明an=3n-12这两道数列解答题     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

2003全国新课程卷理科22题别解

题目设a0为常数,且an=3n-1-2an-1 (n∈N+) (Ⅰ) 证明对任意n≥1,an=(1)/(5)[3n+(-1)n-1*2n]+(-1)n*2n*a0; (Ⅱ) 假设对于任意n≥1有an>an-1, 求a0的取值范围.     

关于两个连续自然数乘积的定理及其应用

本文给出一个自然数能分解为两个连续自然数乘积的充分条件,并举数例说明其应用。 [定理] 设n是大于1的任意奇数,则数1/4(n~2-1)可以分解成两个连续自然数的乘积。证明∵n是大于1的奇数,∴可设n=2m+1(m∈N) ∴     

1997年日本北海道大学入学考试数学试卷及解答(理科)

试题 1.设x为实数,不超过x的最大整数记作[x].c>1,a_n=[nc]/c(n=1,2,3,…),求证: (1)对任意的自然数n,[a_n]=n或者[a_n]=n-1; (2)当c为有理数时,存在n使[a_n]=n; (3)当c为无理数时,对任意自然数n,[a_n]n-1.     

自然数的互素平方差分拆

1 自然数的平方差分拆 文[1]给出了任意自然数的全部平方差分拆及其组数,即求出了 n=x~2-y~2(n是已知的任意自然数)①的全部自然数解及其组数,但定理结论的叙述有些零乱,可把文[1]的定理1、2及推论3综述为 定理1 (1)当2n且n>1时,①有自然数解,且全部自然数解为x=(1/2)(a b),y=(1/2)(a-b),其中.a,b∈N,ab=n,b相似文献   

一个不定方程解的应用(高二、高三)

定理m元一次不定方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N,m,n≥2)的正整数解有C_(n-1)~(m-1)组,自然数解有C_(n m-1)~(m-1)组.证明①若xi为正整数,则这个不定方程正整数解的组数等价于x个小球之间有n-1个空隙,从中放入m-1个隔板,故其正整数解的组数为C_(n-1)~(m-1).     

数列问题的几何解法

由等差数列{an}的通项公式an=a1 (n-1)d可得an=nd (a1-d)(n∈N),显然,当d≠0时,an是关于自然数n的一次函数.它的几何意义是以d为斜率,在y轴上的截距为a1-d的一条直线上的点集.点的坐标为(n,an),其中n∈N.     

0成为自然数后的思考（S_0的妙用）

“问道于零,受福无量”,这是数学教育家傅种孙的名言.“0”的特殊地位和重要作用众所周知.高中数学新教材采用(W.Gellert)公理体系,将0归为自然数类.可见0与1、2、3…等自然数的和谐与统一.数列{an}的前n项和Sn,当n≥2时,Sn表示前n项的和,当n=1时,Sn表示a1,而S0是没有实际意义的.通过下面的研究,便可发现S0的妙用. 例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,则an=_. 解n=1时,a1=S1=1;n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 又因为a1适合an=2n-1,所以an=2n-1(n ∈ N＊).     

2003年高考“数列试题”的分析与反思

一试题概述今年数学高考新课程卷(理科)第22题即压轴题是一道数列试题: 设α0为常数,且αn=3n-1-2αn-1(n∈N+). (Ⅰ)证明对任意,n≥1,αn=1/5[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2nα0; (Ⅱ)假设对任意,n≥1有αn>αn-1,求α0的取值范围. 本题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 由抽样统计得知,本题(满分14分)平均得分仅为2-33分.     

例谈函数思想在数列中的应用

我们知道,等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d,通项a_n可看成是项数n的一次函数,(严格地说,其定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

一个不等式的证明

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…     

新课程卷理科第（22）题别解

(2 2 )设 a0 为常数 ,且 an =3n-1 -2 an-1 (n∈ N* ) .( )证明对任意 n≥ 1,an =15 [3n +(- 1) n-1 .2 n]+(- 1) n .2 na0 .( )假设对任意 n≥ 1,有 an >an-1 ,求a0 取值范围 .证法 1　 ( )由已知 an =3n-1 -2 an-1 3.an3n =1- 2 .an-1 3n-1 .令 bn=an3n,则 3bn= 1- 2 bn-1 3(bn - 15 ) =- 2 (bn-1 -15 ) 数列 { bn- 15 }是以 b0 - 15 为首项 ,公比为 - 23的等比数列 ,且 b0 - 15 =a0 - 15于是 bn - 15 =(- 23) n(a0 - 15 ) ,又 bn =an3n,∴ an3n =(- 23) n(a0 - 15 ) +15 an =15 [3n +(- 1) n-1 .2 n]+(- 1) n .2 na.( )由 n≥ 1,an …     

错在哪里

1.内蒙古赤峰市阿旗天山口高中 林国臣(邮编:025565)题 已知f(n)>0,n∈N,对任意自然数n,恒有f~2(n) f(n 1)≤f(n),求证f(n)相似文献   

用不定方程模型解无序问题(高二、高三)

模型1 不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N* 且m≤n)有C(n-1)(m-1)组正整数解. 分析 此题可以理解为将正整数n分解成m个正整数的和,而 相当于在这n-1个" "号中选m-1个" ",故有C(n-1)(m-1)种选法,所以 方程共有C(n-1)(m-1)组正整数解. 模型2 不定方程 x1 x2 … xm=n (其中m,n∈N*且m≤n)有C(n m-1)(m-1)组非负整数解. 证明 令xi=yi-1(i=1,2,…,m),则 yi=xi 1,yi∈N*,所以原方程的非负整数解问题就转化为方程 y1 y2 … ym=n m