利用对数的性质巧算探索

<正>指数与对数的运算是互逆的,在学习对数运算过程中,可以结合指数的运算性质,寻找两者之间的联系,加强对对数运算性质的理解。积、商、幂的对数的运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:log_a(MN)=log_aM+log_aN。(1)log_aMN=log_aM-log_aN。(2)log_aMn=nlog_aM(n∈R)。(3)上述运算性质可以运用转化思想证明,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂     

平方差公式的一些应用

1982年高考理科试卷第五题为:“设00且a≠1,比较|log_a(1-x)|与|log_a(1+x)|的大小。”这里提供一种简便的解法:|log_a(1-x)|-|log_a(1+x)|=-(|log_a(x-x)|~2-|log_a(1+x)|~2)/(|log_a(1-x)|+|log_a(1+x)|)=(log_(a~2)(1-x)-log_(a~2)(1+x))/(|log_a(1-x)|+|log_a(1+x)|)=[log_a(1-x)+log_a(1+x)][(log_a(1-x)-log_a(1+x)]/(|log_a(1-x)|+|log_a(1+x)|)=log_a(1-x~2)·log_a[(1-x)+(1+x)]/(|log_a(1-x)|+|log_a(1+x)|)     

妙用向量解题

向量作为一种新型的解题工具,在众多数学问题中有十分广泛的应用.除了在空间立体几何的广泛应用外,笔者也发现在解析几何,不等式,代数中,也能找到它的影子.一、用向量证明三点共线例1在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N是BD上一点,BN=1/3BD.求证:M、N、C三点共线.证明:设AD=a,AB=b,则MN=1/2 AB+1/3 BD =1/6(2a+b).又因为MC=MB+BC=1/2(2a+b),所以MC=3 MN.所以MC∥MN,所以M、N、C三点共线.     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

二次曲线一个猜想结论的推广

文[1]给出了二次曲线的如下猜想:已知点P(x0,y0)不在二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上,过P作倾斜角互补的两条直线分别交Γ于S,M和T,N,则直线MN与ST的倾斜角也互补.文[2]给出了上述猜想的证明,并把结论修正为:“直线MN与ST的倾斜角也互补或倾斜角都为0°”.上述结论可简单概括为:若k PM+kPN=0,则k MN+kST=0,本文将此结论推广到更一般的情形.定理已知点P不在二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(*)上,过P作二直线分别交Γ于S、M和T、N.(1)直线PM与PN的斜率之和为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之和也为定值;(2)直线PM与PN的…     

有关正方形题的证明与计算

正方形是有多条对称轴的轴对称图形,又是中心对称图形.它是一种特殊的平行四边形,既具有矩形的一切性质,又具有菱形的一切性质.有关正方形题的证明与计算,一直为中考命题的重点内容之一. 例1 (1998年上海市闵行区)已知:正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N(如图1).(1)求证:MD=MN.(2)若将上面条件中的“M是AB中点”改为“M是     

利用公式求成轴对称图形的方程

要求已知点M(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点N(x_0,y_0)的坐标,可由直线Ax+By+C=0是连接两点M(a,b)与N(x_0,y_0)的线段MN的垂直平分线而推得。由线段MN的中点((a+x_0)/2,(b+y_0)/2)在直线Ax+By+C=0上,有     

求圆锥曲线的弦的一条结论

关于圆锥曲线弦的求法,笔者得到一条结论,现提供于下。 定理:设圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,M、N为C上不同两点,若线段MN的中点为P(a,b),则直线MN的方程为 F(x,y)-F(2a-x,2b-y)=0。 (*) 证明:设M点的坐标为(x_1,y_1),M在圆锥曲线C上,F(x_1,y_1)=0。又因为线段MN的中点P的坐标为(a,b),N的坐标为(2a-x_1,2b-y_1)。又N在圆锥曲线C上,     

“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

一道题的发散思维训练

20 0 3年 1月下半期《数学教学通讯》P76 周周练中有这样一道题 :点 B、C在线段 AD上 ,M是 A B的中点 ,N是 CD的中点 ,若 MN =a,BC =b,则 AD的长是 .安徽教育出版社的初一《几何基础训练》P16也有类似的一题 ,但是它给出了图形 :和被选答案 :( A) a +b.　　　　 ( B) a +2 b.( C) 2 a - b. ( D) 2 a +b.AD =AM +MN +N D=BM +MN +CN=( BM +CN ) +MN=( a - b) +a =2 a - b显然答案选 ( C) .周周练中给出的参考答案也是 2 a- b.笔者认为这道题作为未给图形的填空题答案不唯一 .可作发散思维的训练 .点 B、C在线段 AD上 ,B…     

关于某类数列的求和公式(续)

三、定理的证明在(1)式中取k=1,我们有(1+1)S_1(n)=N,即 S_1(n)=1/2N。(24)在(1)式中取k=2,并由表一及(24)式有 (2+1)S_2(n)=N(n+1)-S_1(n)=N·1/2(M+1)-1/2N=1/2MN。即 S_2(n)=(1/6)MN。(25)在(1)式中取k=3,并由表一及(24)和(25)式有(3+1)S_3(n)=N(n+1)~2-(3 2)S_2(n)-S_1(n)=N·1/2(2N+M+1)-(3/6)MN-1/2N=N~2,故有 S_3(n)=1/4 N~2。(26)     

一道中考压轴题的失分分析及解决策略

<正>1题目呈现已知点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,1/4a),直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为1/8.(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.     

线段和垂线性质的证明

几何一册课本第6页和第25页中,分别直接给出了线段和垂线的性质,本文试作如下证明。(一)证明“在所有连结两点的线段中,线段最短”。已知:平面上任意两点 M、N,连结两点得线段 MN,以 M、N 为端点的折线无限多,按节数分有2个节、3个节…n 个节…的折线(如图一)。     

初探同码数列

若a表示1到9的九个数码,a_n表示第n位数的数码,那末数N=10~(n-1)a_n+10~(n-2)a_(n-1)+…+10a_2+a_1,记作N=a_na_(n-1)…a_2a_1.由相同的数码组成的数,叫做相同数码数,记作N=aa…aa。由相同数码数组成的数列,叫做相同数码数列,简称同码数列,设10~n-1=U_n,10~(2n)-1=V_n,本文将采用这两个数学符号,以使问题表达形式简洁。一、重9数列     

七年级数学上学期期末检测题(2)(配合华师大版)

、一填空题_3生的倒数是2 2.已知点M和点N在同一条数轴上，又已知点N表示一2，且点M距点N的距离是5个长度单位，则点M表示的数是3.比较大小:一卜1.81一(一立).(填“>”、“<”或“一2 4.你会玩“二十四点”游戏吗?请你在2、一3、4、一5、6这5个数中选出4个数，利用有理数的混合运算，使这4个数的运算结果为24(每个数只能用1次)，写出你的算式: 5.如果之丫t+l尹与3入丫+’3是同类项，那么(一耐川= 6.若。一b=1，则代数式。一(b一2)= 5一a一b= ;若。+b=l，则代数式7.11:20时，时钟的时针和分针所成的角的大小为__. 5.22.50=_度_分;12024’…     

从特殊到一般——一类与四边形相关的探索型考题赏析

分析、发现特殊条件下存在的结论,类比探索一般条件下这种结论是否成立,或有何变异,是中考中的一种重要题型,也是解决问题的一种重要探索方法,本文以一类与四边形相关的探索型考题为例,介绍如下.例1(上海市中考题)已知正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN⊥DM交∠CBE的平分线于N(如图1).(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中的“M为AB中点”改为“M是AB上任一点”.其余条件不变(如图2),则结论MD=MN还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.析解(1)证明:取AD中点F,连结FM.则DF=MB.∵△FAM是等腰直角三角形,…     

关于复数教学的两个问题

一、关于复数的积、商、幂的幅角六年制重点中学高中《代数》第二册216—217页上,用黑体字写出如下结论:“两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的幅角等于各复数的模的幅角的和”;“复数的n(n∈N)次幂的模等于这个复数的模的n欠幂,它的幅角等于这个复数幅角的n倍。”这里关于幅角的结论我们认为至少是     

列代数式有诀窍吗?

列代数式有诀窍.可归纳为如下六点: 一、准确理解数量关系例如“a、b两数的和与a、b两数的差的积”,这里涉及到“和”、“差”、“积”三个数量关系,“和”是指a+b,“差”是指a,—b,上述“和”与“差”之间的数量关系是“积”,即列式为(a+b)(a-b).又如“比x大10％的数”,如果不正确理解数量关系,容易错成x+10％或10％x.正确答案应是(1+10％)x.     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

初中数学最值种种

正1.运用点到直线的距离例1(2009年陕西)如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM+MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM+MN=BM+MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM+MN的最小值为4.