初二(上)几何段考模拟题

一、填空题（每小题６分，共３０分）１．若三角形两边的长分别是３和５，则第三边ａ的取值范围是＿．２．若三角形两个内角的和是１００°，则第三个内角的度数是＿．３．若三角形三个内角的度数的比是１：２：３，则这个三角形是＿三角形．４．如图１，在ＡＢＣ中，Ｂ、Ｃ的平分线相交于Ｄ，且ＢＨＣ＝１２０°，则Ａ＝５．如图２，已知ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，ＡＨ与ＢＣ相交于Ｅ，则图中的全等三角形共有＿对．二、单项选择题（每小题７分，共２８分）１．若等腰三角形两边的长分别是４和７，则这个等腰三角形的周长是（）（Ａ）１５；…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

重视一题多解教学,培养创新精神

一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２…     

２００２年全国高考数学（理）（１８）题第（１）小题的别解

［题目］如图，正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是１，而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直．点Ｍ在ＡＣ上移动，点Ｎ在ＢＦ上移动，若ＣＭ＝ＢＮ＝ａ（０＜ａ＜√２）．（Ｉ）求ＭＮ的长．     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

倍角三角形中隐含的两个等腰三角形

所谓倍角三角形是指三角形的三个内角中,如果其中有一个角等于另一个角的两倍,那么称这个三角形为倍角三角形．在倍角三角形中,如果反向延长倍角的一边（与半角公共的边）,使它与另一边（半角的对边）相等后。再与第三角的顶点连结、那么便可得两个重要的等腰三角形．如图１,ＡＢＣ中,Ｂ＝２Ｃ,延长ＣＢ到Ｄ,使ＢＤ＝ＡＢ,连结ＡＤ,则ＢＡＤ与ＡＣＤ均为等腰三角形。简证显然,ＢＡＤ为等腰三角形．故Ｄ＝ＢＡＤ．所以ＡＢＣ＝２Ｄ＝２ＣＤ＝Ｃ因此ＡＣＤ也是等腰三角形．下面举例说明这个结论的运用．例１ＡＢＣ中、Ｂ＝２Ｃ求证…     

一个有用的几何图形

构造如图所示的几何图形,设⊙Ｏ为单位圆,直角△ＡＢＣ的边ＡＣ、ＢＣ切⊙Ｏ于Ｍ、Ｎ,ＰＥ⊥ＯＭ,∠ＡＯＭ＝∠α,易知ｓｉｎα＝ＰＥ,ｃｏｓα＝ＯＥ,ｔｇα＝ＡＭ,ｃｔｇα＝ＢＮ,ｓｅｃα＝ＯＡ,ｃｓｃα＝ＯＢ．１　证明同角三角函数的基本关系式平方关系　在Ｒｔ△ＯＥＰ、Ｒｔ△ＯＭＡ、Ｒｔ△ＢＮＯ中,应用勾股定理可得ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１,１＋ｔｇ２α＝ｓｅｃ２α,１＋ｃｔｇ２α＝ｃｓｃ２α．例数关系　利用Ｒｔ△ＯＥＰ∽Ｒｔ△ＯＭＡ,Ｒｔ△ＯＥＰ∽Ｒｔ△ＢＮＯ,Ｒｔ△ＯＭＡ∽Ｒｔ△ＢＮＯ,分别得１…     

证明等边三角形的4种思路

根据等边三角形的定义和等腰三角形判定定理及其推论,可得证明等边三角形的４种思路．现分别举例说明如下．１．证三边都相等例１如图１,在等边ＡＢＣ中,分别延长ＡＢ到Ｄ,ＢＣ到Ｅ,ＣＡ到Ｆ,使ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ求证：ＤＥＦ是等边三角形．分析只须证ＤＥ＝ＥＦ＝ＤＦ即可．在ＢＤＥ和ＣＥＦ中,ＢＤ＝ＣＥ,ＢＣ＝ＡＣ,ＣＥ＝ＡＦ,ＢＥ＝ＣＦ．ＡＢＣ＝ＡＣＢ＝６０°,ＤＢＫ＝ＥＣＦ＝１２０°ＢＤＥＣＥＦＤＥ＝ＫＦ．同理可证ＤＥ＝ＤＦ,问题可证．２．证三个角都相等例２如图２,在等边ＡＢＣ的三边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上各取一…     

初二数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共３０分）： １．分解因式： ｘ２－９＝ ２．三角形 ＡＢＣ中，＜Ａ＝３０°，＜Ｂ＝ ６５°，则＜Ｃ＝＿。 ３．如果三角形的两条边ａ，ｂ分别是５ｃｍ和７ｃｍ，那么第三边Ｃ的取值范围是。 ４．如图，ＡＢ＜ＤＥ于Ｅ，＜Ａ＝４０°，＜Ｄ＝３０°，则＜ＡＣＢ＝ ５．当ｘ＝＿时，分式无意义。 ６．当ｘ＝时，分式值为０。 ７．不改变分式的值，使下面的分式的分子、分母的最高次项的系数都是正数，则 ８．等腰三角形的一个底角的度数为７２°，则顶角的度数为。 ９．等腰直角三角形底边上的高为４ｍ，则底边长…     

利用面积巧解题

分析这道题的常规解法是通过相似三角形对应边成比例，求出ＡＤ的长，再用勾股定理计算出ＣＤ来．倘若利用三角形面积公式解这道题，既简捷又明快．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得例２如图２，已知ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１６，Ｐ为ＢＣ上任一点，ＰＤＡＢ，ＰＥＡＣ，垂足分别为Ｄ、Ｅ．试求ＰＤ＋ＰＥ的值．解过Ａ作ＡＭＢＣ，垂足为Ｍ，连结ＡＰ．由评析通过这道题的解，我们发现利用面积解题，确实给人以耳目一新之感．例３如图３，已知ＢＤ、ＣＥ是否ＡＢＣ的两条高．求证：ＡＢ·ＣＥ＝ＡＣ·ＢＤ．分析这道题的常规解…     

涉及异面直线角与距离的一个结论及应用

结论如图１,已知二面角Ｍ—ＡＢ—Ｎ为直二面角,ＡＥＭ,ＢＦＮ,且∠ＥＡＢ＝α,∠ＦＢＡ＝β,ＡＢ＝ａ,０≤α、β≤９０°,异面直线ＡＥ、ＢＦ所成的角为θ,距离为ｄ,则（１）ｃｏｓθ＝ｃｏｓα·ｃｏｓβ;（２）ｄ＝ａ１＋ｃｔｇ２α＋ｃｔｇ２β．图１...     

《光的反射》小竞赛

１．在空气、水和玻璃三种介质中，声音和光都传播相同路程所用的时间分别为ｔ１、ｔ２、ｔ３和Ｔ１、Ｔ２、Ｔ３，则：（）Ａ．ｔ１＜ｔ２＜ｔ３，Ｔ１＜Ｔ２＜Ｔ３；Ｂ．ｔ１＜ｔ２＜ｔ３，Ｔ１＞Ｔ２＞Ｔ３；Ｃ．ｔ１＞ｔ２＞ｔ３，Ｔ１＞Ｔ２＞３；Ｄ．ｔ１＞ｔ２＞ｔ３，Ｔ１＜Ｔ２＜Ｔ３．２．两面平面镜ＡＢ和ＡＣ镜面相背，夹角为ａ．两条平行光线ＤＥ和ＧＨ分别射到两镜面上发生反射后，反射光线ＥＦ和ＨＩ反向延长线相交于Ｋ，夹角∠ＥＫＨ＝１４０°，如图ｌ所示．则角α的大小为：（）Ａ．６０°；Ｂ．７０°；Ｃ．８０°；Ｄ．…     

三角形外角性质的应用

我们知道,三角形的外角有这样的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,大于任何一个与它不相邻的内角．这个性质是研究三角形的重要基础知识,应用也非常广泛．现分类举例说明．一、计算角度例１如图１,Ｄ是△ＡＢＣ中ＣＢ的延长线上一点,ＤＯＡＢ于０,Ｃ＝４０°,Ｄ＝３０°,求１和Ａ．解１＝９０°＋Ｄ＝９０°＋３０°＝１２０°,Ａ＝１８０°－１２０°－４０°＝２０°．例２如图２,△ＡＢＣ中,ＢＤ平分ＡＢＣ,１＝３,４＝５,求５的度数．解设１＝３＝ｘ,则２＝ｘ,５＝４＝１＋３＝２ｘ．在△ＢＣＤ中,…     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

一二三四话坐标

在平面直角坐标系（如图１）内的点与有序实数对（ｘ，ｙ）是一一对应的．也就是说，对于图 １ 中的任何一个点Ｐ，都可以用惟一的有序实 数对（ｘ，ｙ）来表示；反过来，任何一个有序实数对（ｘ，ｙ），都可以确定惟一的点Ｐ． 例１０ＡＢＣＤ在平面直角坐标系中的位 置如图 ２所示，已知∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝３，则 Ｄ 点的坐标为＿． （２０００年贵州省黔东南州中考题） 分析 为求Ｄ点的坐标，过Ｄ作ＤＥ⊥ ｘ轴于Ｅ，作ＤＦ⊥ｙ轴于Ｆ，则ＯＥ的长为点Ｄ 的横坐标，ＯＦ的长为点Ｄ的纵坐标． 由图 ２可知 ＯＣ＝５．在 ＲｔＤＣＥ…     

巧构三角形解题

在数学解题中,有些题目用常规思路去做很繁琐,但巧妙构造三角形,便可得到简洁解法。 例１．己知△ＡＢＣ的三个内角 Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ= ２Ｂ,求的值。 （１９９６年全国高考题） 解：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°,由Ａ＋Ｃ＝２Ｂ,得Ｂ＝６０° 而cos=１０５°=,cos１５°= 易知＋ 构造△ＡＢＣ,如图１,使Ａ＝１０５°,Ｂ＝６０°,Ｃ＝ １５ °从而cos= １５°,从而 cos＝ 例２、求值sin~２１０°＋ｃｏｓ~２４０°＋ｓiｎ１０°ｃｏｓ４０。 （１９９５年全国高考题） 构造△ＡＢＣ,如图２,使Ｂ＝１０°,Ｃ＝５０°,Ａ＝１２…     

补形解题妙在“补”

一些表面上无从下手的几何图形 ,我们只要充分应用所学的知识 ,打破常规思路 ,充分挖掘题设的内涵 ,就可寻找出最佳的解题途径。“补形”就不失为一种好方法。下面略举几例 :一、补成三角形如图 ,这是１９９４年北京市中学生数学竞赛试题。已知 :在六边形ＡＢＣＤＥＦ中 ,∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝∠Ｅ＝∠Ｆ ,且ＡＢ +ＢＣ＝１１ ,ＡＦ -ＣＤ＝３ ,则ＢＣ +ＤＥ＝。析解 :∵所给图形的几个内角相等 ,∴可将六边形中的三边ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ向两侧延长得△ＧＨＭ。∵六边形的内角和为７２０°,∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝∠Ｅ＝∠Ｆ＝１２０…     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…