有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

从一道高考题谈高三数学复习

20 0 2年高考有一道数学题为 :已知ａ >0 ,函数 ｆ(ｘ) =ａｘ -ｂｘ2 .(1)当ｂ >0时 ,若对任意ｘ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ) ≤ 1,证明 :ａ≤ 2ｂ ;(2 )当ｂ >1时 ,证明 :对任意ｘ∈ [0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件是ｂ- 1≤ａ≤ 2 ｂ ;(3)当 0 <ｂ≤ 1时 ,讨论 :对任意ｘ∈[0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解　 (1)由已知ａｘ -ｂｘ2 ≤ 1,∴　ｂｘ2 -ａｘ +1≥ 0 .∵　ｘ∈Ｒ ,ｂ >0 ,∴　Δ =ａ2 - 4ｂ≤ 0 ,∴　ａ≤ 2 ｂ .…     

多题一解 启迪思维

在闭区间上的二次函数的绝对值不等式的证明有一个通法 :将二次函数的系数用闭区间上的三个函数值 (一般用区间端点和中点的函数值 )来表示 ,然后借助于绝对值不等式来解决 .例 1　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 ) .若 | ｆ( 0 ) |≤ 1,|ｆ( 1) |≤ 1,|ｆ( - 1) |≤ 1,试证 :对任何ｘ∈ [- 1,1] ,都有 |ｆ(ｘ) |≤ 54 .证明 :因ｆ( 0 ) =ｃ,ｆ( 1) =ａ +ｂ+ｃ,ｆ( - 1) =ａ-ｂ +ｃ,故解得ａ =ｆ( 1) + ｆ( - 1)2 - ｆ( 0 ) ,ｂ =ｆ( 1) - ｆ( - 1)2 ,ｃ=ｆ( 0 ) .∵　 |ｘ|≤ 1∴　 | ｆ(ｘ) | =|ａｘ2 +ｂｘ +ｃ|=ｆ( …     

这道题及其证明均无误

题目 :设 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ,且当 |ｘ|≤ 1时 ,总有 |ｆ(ｘ) |≤ 1.求证 :|ｆ( 2 ) |≤ 8.证明 :∵当 |ｘ|≤ 1时 ,总有 |ｆ(ｘ) |≤ 1,∴ |ｆ( 0 ) |≤ 1,即 |ｃ|≤ 1;|2ｂ|=|ｆ( 1) - ｆ( - 1) |≤ |ｆ( 1) | |ｆ( - 1) |≤ 1 1=2 ,从而 |ｂ|≤ 1;|2ａ |=|ｆ( 1) ｆ(     

欢迎您—2003

一年一度的佳节———元旦 ,就要来临了 ,为了欢度节日 ,特为数学爱好者 ,提供一组结果均为 2 0 0 3的函数趣题以资助乐 .1　设对于函数 :ｆ(ｘ) =ｘ +3ｘ - 2 ,ｇ(ｘ) =ａｘ +ｂｘ +ｃ ,且有 ｆ[ｇ(ｘ) ] =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,试求ａ、ｂ、ｃ之值 .解　由题目条件得 :ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ(ｘ) +3ｇ(ｘ) - 2=ａｘ +ｂｘ +ｃ +3ａｘ +ｂｘ +ｃ - 2=(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) .由题设知(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,整理得 :( 5ａ - 10 0 15)ｘ2 +( 5ａ +5ｂ - 10 0 15ｃ- …     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

例谈求导法解题

20 0 3年的高考山东等省的考生将使用新课程卷。导数是高中数学新教材中增加的内容 ,利用导数求函数的极大 (小 )值 ,求函数在连续区间 [ａ ,ｂ]上的最大 (小 )值 ,或利用求导法解决一些实际应用 ,也许会成为高考的一个新的热点问题。为此 ,本文举例归纳求导法的应用 ,供师生参考 .1　求函数解析式例 1　设 ｙ=ｆ(ｘ)为三次函数 ,且图象关于原点对称 ,当ｘ=12 时 ,ｆ(ｘ)的极小值为 - 1,求函数ｆ(ｘ)的解析式 .解　设 ｆ(ｘ) =ａｘ3 ｂｘ2 ｃｘ ｄ(ａ≠ 0 ) .(因为其图象关于原点对称 ,即 ｆ(-ｘ) =- ｆ(ｘ) ,得ａｘ3 ｂｘ2 ｃｘ ｄ =…     

用判别式法解题的注意点

判别式Δ=ｂ2 -4ａｃ的代数涵义是判别一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0有无实根 .随着对二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图象和性质研究 ,判别式的几何涵义表现为判断抛物线与ｘ轴有无交点 .作为一种重要的数学方法 ,若能正确巧妙地运用判别式法 ,就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉 ,但是 ,若不能正确地把握好使用判别式法解题的条件和本质特征 ,就会造成错误 .因此 ,对如何使用判别式法解题的有关问题 ,必须引起我们注意 .一、注意使用判别式法解题的条件例 1　当实数ｔ为何值时 ,方程ｘ2 + (ｔ+2ｉ)ｘ+ (2 +ｔｉ) =0至少有一个实根 ?…     

由一个新发现的错误谈起

笔者深信 ,对于如下一类问题 :已知 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ,且 1≤ ｆ( -1 )≤ 2 ,2≤ｆ( 1 ) ≤ 4 ,求 ｆ( -2 )的取值范围 ;已知π <α β <43π ,-π <α -β <-π3,求 2α -β的取值范围 .大多数教师都能知道学生易犯的错误 ,并能从数和形两方面对比着进行错误的剖析 ,还能给出二三种正确解法 .原因有二 :早在笔者上大学时 (十几年前了 )就已见过一些书及文章谈及此问题 ;近来一些杂志上还不断有文章论及此类问题 (如文〔1〕) .这既能反映出此类问题的确容易出错 (几乎每届学生都有犯的 ) ,又能说明纠错需击中要害并常抓不懈 !知错纠错…     

构造法证明不等式

根据欲证不等式的某些特点 ,引入适当的函数、数列、方程、图形等 .并利用它们的性质证明不等式的方法 ,称为构造法 .以下分别说明几种常见的构造对象 .一、二次函数对二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(α≤ｘ≤ β) ,若ａ >0 ,则 ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ≤ 0 ;-ｂ2ａ∈(α ,β)时ｍａｘ{ ｆ(α) ,ｆ( β) }≥ ｆ(ｘ) ≥ｆ -ｂ2ａ ;-ｂ2ａ (α ,β)时 ,ｆ(ｘ)在 ｆ(α)与ｆ( β)之间 .利用ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ ≤ 0证明不等式的方法也称为判别式法 .它的用法是 :当欲证之不等式呈现Ｂ2 ≤ ( ≥ )ＡＣ这样的与判别式类似的形式时 ,可考虑构造二次函数 ;…     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

让学生走出“疑惑”的沼泽

笔者在教研过程中碰到两次活动 :1 在一次校教研活动中 ,听一位老师上课 ,让学生练习 :已知二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠0 ) ,如果 ｆ (ｘ1 ) =ｆ (ｘ2 ) (ｘ1 ≠ｘ2 ) ,则ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =　　 (浙江省 1999年会考第 2 4题 ,原题是选择题 )一基础较差的学生举手回答如下 :∵ ｆ(ｘ1 ) =ｆ(ｘ2 ) (ｘ1 ≠ｘ2 ) ,∴ｘ1 =-ｘ2 .∴ ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(0 ) =ｃ .教师评析 ,这种做法是错误的 ,推理毫无依据 .学生带着难言的神色 ,尴尬地坐下了 .然后教师讲解 :∵ ｆ(ｘ1 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴二次函数对称轴是ｘ =ｘ1 ｘ22 ,∴ｘ1 ｘ2 =-ｂ…     

一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

隐含条件在解题中的作用

所谓隐含条件是指题目中含而不露 ,不易觉察的固有条件 ,它隐蔽在题设的背后 ,容易被人们忽视 .解题时 ,只有深挖题目中的隐含条件 ,并加以充分利用 ,才可能使问获得迅速而正确的解决 .那么 ,隐含条件在解题中起什么作用呢 ?1　隐含条件的化简作用有些数学问题的解答 ,虽然也可以不依赖于深层次的隐含条件 ,但若能借助于隐含条件进行转化 ,却能避开繁杂的运算 ,使问题获得快速简洁的解决 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考理科题 )设函数 ｆ(ｘ)= ｘ2 + 1-ａｘ ,其中ａ>0 .(1)解不等式 ｆ(ｘ) ≤ 1;(2 )略 .分析　不等式 ｆ(ｘ)≤ 1,即 ｘ2 + 1≤ …     

2002年全国高中数学联赛加试第二题的一种解法

题目　实数ａ、ｂ、ｃ和正数λ使得 ｆ(ｘ) =ｘ3 ａｘ2 ｂｘ ｃ有三个实根ｘ1、ｘ2 、ｘ3 ,且满足(1 )ｘ2 -ｘ1=λ ;(2 )ｘ3 >12 (ｘ1 ｘ2 ) .求2ａ3 2 7ｃ -9ａｂλ3 的最大值 .命题组给出的参考答案 ,思路巧妙 ,但考生却不易想到 .本文从特殊情形入手 ,给出一种较为简单     

函数f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)的优美性质

本文用初等方法导出函数 ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ(ａ >0 ,ｃ<0 )的几个优美性质。1　ｆ(ｘ)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ｂａ ,-ｄｃ]。任给ｘ1、ｘ2 ∈ [-ｂａ ,-ｄｃ],且ｘ1<ｘ2 ,则ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 ) =(ａｘ1 ｂ ｃｘ1 ｄ) -(ａｘ2 ｂ ｃｘ2 ｄ)=(ａｘ1 ｂ     

用三角函数求一些函数的周期

众所周知 ,三角函数都具有周期性 .本文利用类比、抽象的方法 ,通过由三角函数的周期得出一些函数的周期 .一、由诱导公式抽象出的具有周期性的函数(1 )由函数ｆ(ｘ) =ｔｇ π2ａｘ或ｆ(ｘ) =ｃｔｇ π2ａｘ(注 :ａ为非零正常数 ,用以使函数周期为相应的ｋａ ,ｋ∈Ｎ且ｋ >1形式 ,以下相同 )知周期是 2ａ ,且ｔｇ π2ａ(ｘ ａ)ｔｇ π2ａｘ=-1或ｃｔｇ π2ａ(ｘ ａ)ｃｔｇ π2ａｘ =-1 ,从而抽象出函数方程ｆ(ｘ ａ) =-1ｆ(ｘ) ,其周期是 2ａ .证 :因ｆ(ｘ 2ａ) =ｆ[(ｘ ａ) ａ]=-1ｆ(ｘ ａ) =ｆ(ｘ) .所以ｆ(ｘ)是周期函数 ,且周期为 2…     

选择主元 巧证不等式

例1　ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的奇函数,ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ),而ｘ∈[2,3]时,ｇ(ｘ)=-ｘ2+4ｘ+ｃ(ｃ为常数).(1)求ｇ(2)及ｃ的值.(2)求ｆ(ｘ)的表达式.(3)对任意ｘ1、ｘ2∈[0,1]且ｘ1≠ｘ2,求证:|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1.解:(1)ｇ(2)=ｆ(0)=0,ｃ=-4.(2)ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ)=-ｘ2,ｘ∈[-1,0];ｘ2,ｘ∈(0,1].(3)欲证的|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1|ｘ22-ｘ21|≤1-1≤ｘ22-ｘ21≤1.又因为ｘ1、ｘ2∈[0,1],ｘ1≠ｘ2,故ｘ21∈[0,1],ｘ22∈[0,1].先视变元ｘ2为主元,再视ｘ1为主元,连续放缩,-1≤-ｘ21≤ｘ22-ｘ21≤1-ｘ21≤1,故原不等式成立.例2　ｆ(ｘ)=ｘ3+ａｘ+ｂ定…