浅议拿破仑三角形及其推广

<正>拿破仑三角形是一个美妙的平面几何定理,在其中能够挖掘出很多美妙的性质。下面介绍几种极其简单的拿破仑三角形的证法,并得出两个推论分别予以证明。(注:拿破仑三角形均指外拿破仑三角形,且仅关于外拿破仑三角形作讨论)命题1:以任意△ABC三条边为边,向外作三个等边三角形△BCD,△CAE,△ABF,则AD,BE,CF交于一点,且长度相等。证明:先证AD=BE=CF。在△AFC,△ABE中,AF=AB,∠FAC=     

正三角形中的一个猜想的证明

<正>1问题的提出在△ABC中,三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形(高中《数学》选修2-2P85).这个命题不难证明,且反之亦然.于是便有了下面的定理1.定理1△ABC是正三角形的充要条件是△ABC的三个角成等差数列且对应的三条边成等比数列.若将三角形的角和边的关系作相应的交换,立     

怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…     

一类面积不等式

一.从外森比克不等式的几何意义谈起设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥43~(1/2)S (1)其中等号当且仅当a=b=c,即△ABC为正三角形时成立。 (1) 式称为外森比克不等式,如果以△ABC的三边向外分别作正方形(如图),则(1)式有如下几何解释:以三角形的三边向外分别作正方形,则这三个正方形的面积之和不小于这个三角形面积的43~(1/2)倍。 (1) 式的几何意义使我们联想到:如果在三角形三边向     

2011印度国家队选拔考试摘选

1.在锐角△ABC中,已知AD为中线,BE为角平分线,CF为高线.若△DEF为等边三角形,证明：△ABC也是等边三角形. 2.已知△ABC的各内角均大于30°,⊙T与边BD、CA、AB依次交于点P、Q、K、L、M、N,且此六点按顺时针方向位于⊙T上.若△TQL、△TLM、△TNP是等边三角形,证明:     

寻背景 探演变

题目 （2005年北京市海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向三角形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF。     

两个等边三角形中的三角形全等

等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°     

借助数轴确定三角形第三边的范围

[题目]已知△ABC的三边长分别是2、3、x.①当△ABC为任意三角形时,求第三边x的取值范围.②当△ABC为直角三角形时,求第三边x.③当△ABC为锐角三角形时,求第三边x的取值范围.④当△ABC为钝角三角形时,求第三边x的取值范围.分析与解:①由三角形的三边关系易得     

一个定值问题的引伸

命题1“等边三角形内任一点至三边距离之和为一定值”有几种证法,但以下面的证法较简便。证明:如图1,连结PA,PB,PC. ∵S_(△ABC)=S_(△PBC)+S_(△PCA)+S_(△pAB),∴S_(△ABC)=1/2BC·PD+1/2CA·PE+1/2AB·PF又 AB=BC=CA,∴ PD+PE+PF=2S_(△ABC)/BC. 等边三角形的这一性质可推广到等边凸多边形中,以上的证明实质上给出如下的定理1 等边凸多边形内任一点至各边的距离之和为定值。特殊地,正多边形内任一点至各边的距离之和为定值。     

对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

数学问题及解答

本期问题 46.△ABC的三条边成等比数列,则以它三条高为边的三角形和△ABC相似。 (阮可之提供) 47.已知α、β均为锐角,能否用sinα,sinβ,sin(α+β)为边构成三角形? (王茂森提供) 48.△ABC中∠A=90°, M、N在BC边上, 且BM=MN=NC,∠BAM=α, ∠MAN=β,∠NAC=γ, 求证:sinβ=3sinαsinγ。 (培思提供) 49.设x>y>3,证明y~x>x~y。 (袁文提供) 50.求3~(666666)除以7的余数。 (黄鸿仪提供) 上期问题解答 41.已知三角形的面积,试求以三角形三条中线为边的三角形的面积。解:(如图)设△ABC面积=S,D、E、F分别是三边BC,AC,AB的中点,△ABC的重心为G。     

一个国际竞赛题的另证及其推广

第三届(1961年)国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2))△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(3~(1/2))S~2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大.     

发掘生活中相似知识的巧妙应用

一、相似知识回顾 1.如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB、CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,或写成AB/CD=m/n.分别叫做这条线段比的前项后项. 2.三角形ABC与三角形A'B'C’是形状形同的图形,其中各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的比叫做相似比. 4.三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.若三角形ABC与三角形DEF相似,记作△ABC～△DEF,把对应定点的字母写在相应的位置上.     

为什么在一个三角形中“大边对大角”

我们知道,一个三角形中边与角的相等关系是等边对等角,等角对等边。那么,在一个三角形中,如果两条边不相等,这两条边所对的角的大小关系如何呢?反过来,如果两个角不相等,这个两角所对的边的大小关系又如何呢?这个问题的结论或许不难得到,比如,我们可以任意创造一个△ABC,满足AB>AC的条件,可以观     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

三角形若干共点线的问题探究

三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点…     

巧用旋转变换求解线段(和)的最值问题

<正>在初中几何试题中,我们时常遇到求解某条线段或某两条线段之和的最值问题.解决这类问题的常用方法是通过旋转变换作出恰当的辅助线,并借助全等三角形或相似三角形,将相关线段置于某一三角形中,再根据三角形的三边关系,即“三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边”来求解.下面举例说明.一、以三角形为载体1.构造全等三角形例1如图1,等边△ABC的边长为2,点D为BC边的中点,     

海伦三角形

已知△ABC的三边长a=13,b=14,c=15,由海伦公式可以求得△ABC的面积S=84.这种三边长为连续整数,面积也是整数的三角形叫做"海伦三角形". 除上述三角形外,三边长a=3,b=4,C=5的三角形也是海伦三角形(面积为整数6). 要想再找出几个海伦三角形,这可能很困难.要找     

用尺规作图方法寻找三角形的加权费马点

<正>1 问题导引(1)已知锐角△ABC,请你用尺规作图的方法确定一点P,使得PA+PB+PC最短.即:确定一点使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最短.满足上述条件的点P,我们称之为三角形的费马点.(2)该点的寻找步骤:①以BC为边构造一个△BCQ,使得BC∶CQ∶BQ=1∶1∶1(即△BCQ是等边三角形);②作△BCQ的外接圆;③连接QA,AQ与△BCQ外接圆有一个交点P;④由于△ABC是锐角三角形,所以该点就是符合条     

探索条件一图多变

怎样学习平行四边形及特殊平行四边形?根据新课程改革的理念要求,笔者认为:教者要精选习题,认真钻研教材,学者要精做习题,融会贯通.下面就以一道典型的几何题为例,加深对平行四边形和特殊平行四边形的理解与识别.题目:已知:如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF.请回答下列问题(不要证明)1.四边形ADEF是什么四边形.2.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形.3.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF菱形.4.当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是正方形5.当△ABC满足什么条件时,以A、D、E…