再探利用隐圆，破解最值问题

文［1］从点和圆的三种位置关系入手,得出解决最值问题的结论,挖掘隐圆,巧妙破解最值问题。笔者由此得到启发,得出一个更一般的结论;原文中“动点对定长的线段所张的角为直角”,可以将直角引申成一些其它特殊角,30°或150°,45°或135°,60°或120°,解法灵活巧妙。     

利用圆的一个结论求一类线段最值

<正>圆中有一个结论,利用该结论可以求一类线段的最值.结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中,当线段所在直线过圆心时取得最值.如图1、图2,若点P不在⊙O上,射线OP交⊙O于B,射线OP的反向延长线交⊙O于A,则点P到⊙O上各点之间的线段中,PB最短,PA最长.     

分类例说辅助圆在解题中的妙用

<正>通过巧妙构造圆,充分利用"直径所对的圆周角为直角"来解决某些问题,可以达到事半功倍的效果.试分类例说如下.一、证相等例1如图1,四边形ABCD是正方形,点E为线段BC上任意一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:AE=EF.     

圆周角平分线长度的一般性结论

<正>文章《一类直径交弦所成四条线段长度问题的一般结论》[1]探讨了如何计算90°的圆周角平分线在圆内部分的长度,以及角平分线与直径相交所成四条线段的长度,文[1]中的方法略显复杂不容易思考.笔者在仔细阅读时想到可以用更普通的方法解决问题,还可以将90°的圆周角推广到任意度数的圆周角,进而得出解决此类问题的通法,再计算任意圆周角的角平分线圆周角所对的弦相交所成四条线段的长度,并在拓展后得出任意圆周角相邻的外角平分线在圆内部分长度的一般性结论,     

巧用图形性质求解与圆有关的最值问题

<正>探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致,形式不拘一格,解决问题的方法灵活多变,造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题,以帮助同学解除疑惑.1.利用"直径是圆中最大的弦"求最值例1如图1,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两     

构造基本图形求解45°角问题

<正>在解答有关45°角问题时,由于技巧性较强,学生常常会感到束手无策.实际上若能根据45°角的特殊性,恰当地构造出相应的基本图形,再充分运用基本图形的有关性质探寻解题思路,往往可使问题巧妙地化隐为显、化难为易.下面分类剖析,以飨读者.一、构造全等三角形例1 如图1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,求线段MN的长.     

平板车最大拐弯长度问题的解决及推广

分析过直角角平分线上确定点的所有直线中,被直角边截得的线段最短的直线应满足的条件,以此为依据解决一个平板车过等宽直角通道的实际问题,并将解决问题的方法推广到一般情形——用求导方法,确定过直角内部任意确定点的所有直线中,被直角边截得的线段最短的直线满足的条件,并举例说明这一结论的应用.     

辅助圆——一种求解线段最值的方法

<正>《初中数学教与学》2015年第10期陈林香老师《求解线段最值问题的常用方法》中,提供了运用构造三角形求线段最值问题的方法,笔者也提供一种构造辅助圆求解线段最值的方法,供参考.模型如图1(1)与图1(2),求点A到圆上各点的最大距离与最小距离.如图1(1),点A到⊙O的最大距离为AC,最小距离为AB.如图1(2),点A到⊙O的最大距离为AC,     

例谈圆模型在几何最值问题中的妙用

<正>最值问题一直是初中数学问题中的一大难点,这类问题出现的题型内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样.其中几何中的最值问题是重中之重,常见方法有利用轴对称性得到三点共线;利用转化思想转变成垂线段最短;利用函数思想等,本文主要探究看似无圆的几何最值问题中如何巧妙地找到圆模型,使复杂的最值问题得以圆满解决.模型呈现:如图1,圆外一点与圆上任意一点联结所成的线段中PA最长,PB最短(其中PA、PB所在的直线经过圆心O).     

几何定值题求解很有趣

当平面图形中的一些几何元素在一定条件下变动时,与变动元素有关的某些几何量的值仍保持不变,求出这些不变的值,这就是几何中的定值问题。求解定值问题常用的基础知识有：（1）同（等）底等（同）高的三角形面积为定值;（2）同圆或等圆中,相等的圆心角或圆周角所对的弧长或弦长为定值;（3）圆幂定理中,若切线长不变,则割线两部分之积为定值;（4）两条对角线为定长的平行四边形的各边平方和为定值;（5）在已知线段的同侧,且对线段两端点所张的角大小不变的各点,在过这线段两端点的同一个圆上。若能巧妙而灵活地利用上述结论求解定值问题,常常会使问题简单获解。下面举例说明,希望能够对同学们有所启迪。     

抓住本质 提炼模型 发展素养——以“图形的旋转”中考专题复习为例

<正>旋转是近几年中考的热点，旋转的对象通常是线段、三角形、四边形等基本图形，旋转的角度一般是60°,90°,120°等特殊角度，旋转常与全等、相似结合，考点丰富、题型多变，其中最值问题、动点路径长问题难度大，综合性强，对学生学习能力要求高.本文以“图形的旋转”中考题复习为例作出分析.一、复习目标1.系统梳理旋转的性质，深度理解旋转角都相等；2.抓住旋转的不变性，解决旋转中的动点问题，轨迹从显性圆到隐性圆，发展学生的空间观念、     

阿氏圆情境下线段最值问题的求解策略

<正>各地中考中常常见到这样一类问题:问题中一般含一个或多个动点,求某线段最值或求"PA+k·PB"的最值.很多学生对这类问题往往束手无策,究其原因,是因为学生在学习过程未能掌握此类问题的本质,并将问题与数学模型结合起来.解决线段最值问题关键在于如何从问题中提炼出有用信息,将复杂的线段最值问题转化为诸如"两点之间、点线之间、点圆之间"等距离最值问题,所以这类问题破题依据无外乎数学中的几个基本事实:(1)两点之间,线段最短;(2)垂线段最短;     

再谈几何最值之阿氏圆问题

<正>在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变化时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题.这类问题通常可以运用几何性质和代数解法两种方法解决.几何性质中常用的定理(或公理)有"两点之间线段最短"和"垂线段最短";代数解法通常是利用二次函数的最值或判别式法.近年来出现了一类将阿氏圆和"两点之间线段最短"结合求最值问题,下面我们一起来领略阿氏圆在解决     

如此证明线段倍分

1．30°角所对的直角边等于斜边的一半 例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD／／BC,∠ABC=90°,点E是CD的中点,从点E作CD的垂线交AB于点P,     

一类直径交弦所成四条线段长度问题的一般结论

<正>直径所对的圆周角是直角,直角的平分线分直角所成两个45°锐角,在45°锐角的一边上取一点,向另一边引垂线,即可构造等腰直角三角形,等腰直角三角形具有直角边相等,斜边等于直角边长度的2(1/2)倍等许多性质.下面剖析一道人教版9年级上册数学教材87页的例题,运用不同方法探究直径与弦相交所成的几条线段长度问题,并得出一般结论.例题如图1,⊙O的直径AB长为10cm,弦AC     

构造“K形全等”解题

<正>所谓"K形全等"是指,在图1中,点A、B、C在同一直线上,若BD=BE,∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°,则△ABD≌△CEB(证明略).在正方形、等腰直角三角形中,遇到两条垂直的等长线段时,通过向过直角顶点的直线作垂线段,构造K形全等,可以有效沟通线段或角之间的联系,促进问题的解决.下面举例说明K形全等在点的坐标确定、图形面积求     

特殊直角三角形的计算问题

<正>平面几何中含30°或45°的直角三角形问题,是经常遇到的问题.本文就这类特殊直角三角形的计算问题进行讨论.一、含30°的直角三角形我们知道,30°直角三角形的三个内角的比为1∶2∶3,三边之比为1∶3^(1/2)∶2.若把30°角所对直角边叫短直角边,60°角所对直角边叫长直角边,则有下面的关系式(如图1):     

一道中考题的解法、不足和改进

如图1,已知△ABC 中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为 DF),将直角三角板 DEF 绕 D 点按     

一道作图题的图形在中考中的运用

<正>题目已知RtACB,∠ACB=90°,求作圆心在线段BC上,并与三角形另两边相切的⊙O.解如图1,先作∠CAB的平分线,交线段BC于点O,以O为圆心,OC为半径作圆O.圆O即为所作.     

一道中考试题的失误

下面是2 0 0 3年山东省中考试题第一大题选择题的第7小题:上面每张方格纸上都画有一个圆,只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是(　　) .本题的标准答案为选项A .由图1可知,A中的圆关于网格中间位置的水平线对称,如图2 ,即AB是圆的直径.同时∠EDC与∠FCD均为直角,根据“90°圆周角所对的弦为直径”这一事实,连结CE或DF ,所得的线段与直径AB的交点O即为圆心.但实际上,本题的其他3个图均可只用直尺确定圆心.在说明这一问题之前,先来看一下下面两个基本作图:基本作图1 :已知:线段AB和与之平行的直线a ,仅用直尺作线段AB的中点.(图3 …