异面直线所成角的一种快速作法

异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要量,也是高中数学研究的一种空间角.求解异面直线所成角的试题,广见于各年高考试卷和各地模拟试卷中,常见解法为几何法和向量法.1新法背景众所周知,利用几何法求解异面直线所成角的基本步骤是异面化共面,再计算,即“一作二证三算”.其中,作出异面直线所成角的手段是平移.现流行的平移方法一般有三种类型:利用图中已有平行线平移;利用特殊点(线段的端点或分点)作平行线平移;补形平移.但是笔者发现:对于空间想象能力不强的学生,或面对图形较为复杂的情形,这三种类型在操作时,分别会面临以下问题:已有平行线不明显,不知如何定线;图形中的点比较多,不知如何选点;补形的方式不唯一,不知如何补形.此时,毫无规律的观察实验便成为考生常用伎俩.实践表明:经过为数不多的几次实验后,若成功,下面的运算不在话下,考生皆大欢喜;若失败,由于时间的原因,考生只能不甘心地放弃,但考后在继续实验或看见答案时,往往会恍然大悟,后悔不已.     

求曲线上点到直线距离最值的两种方法

<正>求曲线上任意一点到直线间距离的最值问题,常用两种方法——切线法和动点法.所谓切线法就是将已知直线平移,当直线与曲线相切时,距离达到最大或最小,然后利用平行线间的距离公式求得最值;所谓动点法就是将曲线上的任意点设为P(x,f(x)),然后利用点到直线间的距离公式,讨论点P到直线间距离的最值问题.下面举例说明.     

用向量法求空间距离的五条定理

求空间距离(点到平面距离、直线与之平行的平面间的距离、两平行平面间的距离、点到空间直线间的距离,两异面直线间的距离)的问题是立体几何中常见的一种题型,其解题步骤一般是:一作、二证、三计算.即:(1)找出或作出有关的距离;(2)证明它符合定义;(3)归到某三角形中计算.解这种题型的困难之处在于如何作出该距离,而作出这距离的方法又因题而异,从而增加了解题的难度.是否存在一种既简单又通用的解法呢?　　一、相关定理笔者最近发现了用向量法求空间距离的五条定理.若用这几条定理来解这类问题就显得容易多了.因为它不必去考虑这距离到…     

“平行与垂直”知识指津

一、平行1.平行线的定义在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.理解平行线,应注意如下四点:(1)“在同一平面内”是定义的前提条件,以区别于空间内两条不相交的直线(;2“)不相交的两条直线”是平行线的特征;(3)通常所说的线段、射线平行,实际上是指它们所在的直线平行;(4)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.2.平行线的表示方法通常用“∥”表示平行.如直线AB平行于直线CD,可表示为AB∥CD.3.平行线的画法(1)借助于方格纸画平行线(方格纸上所有的横线互相平行,所有的竖线互相平行);(2)借助于三角尺画平行线.4.平行线…     

循规蹈矩是不是也有错

在认识了平行线和借助已有物体画平行线之后,老师教学生用直尺和三角尺画平行线,先边讲边示范了一遍,为了让他们能记住操作步骤,又举例(过直线外一点作已知直线的平行线)介绍为什么要如此操作:先把三角尺的直角边对准已知直线,再把直尺与三角尺的另一条边紧贴在一起,把三角尺沿直尺边平移,然后画出平行线。刚开始的时候,学生很认真、很谨慎地     

例谈平行线上两动点之间距离的最短问题

<正>初中几何中有一类关于距离最短的问题,这些问题最终都会转化为"垂线段最短"或"两点之间线段最短".本文就一类平行线上两动点之间距离最短问题,谈谈笔者对此的分析和见解,以供读者参考.一、基本问题如图1,直线m∥n,且两直线之间的距离为d,若点A和点B分别是直线m,n上的动点,则点A和点B之间的距离最小值为d.解析根据运动的相对性,不妨固定点A,则问题就变成了直线n外有一定点A到直     

利用平移的方法证题

用直尺和三角尺画平行线的方法如图1所示,在画图过程中,三角尺沿着直尺的方向由原来的位置平行地移到另一个位置,我们把这样的移动简称为平移.三角尺的平移既可以看成是线段(三角尺的边)的平移,也可以看成是整个图形(三角形)的平移.在思考有关图形问题时,利用平移的方法,把部分图形"搬"到新的位置,使不规则图形变成规则图形,能使已知条件与待证结论之间的关系变得清晰明确,使解题过程变得妙趣横生.     

求曲线上点到直线距离最值的两种方法

求曲线上任意一点到直线间距离的最值问题，常用两种方法——切线法和动点法．所谓切线法就是将已知直线平移，当直线与曲线相切时，距离达到最大或最小，然后利用平行线问的距离公式求得最值；所谓动点法就是将曲线上的任意点设为P（xf（x）），然后利用点到直线间的距离公式，讨论点P到直线间距离的最值问题，下面举例说明．     

平移问题“大观园”

将图形F沿着一定的方向平移一定的距离而得到另一个图形F′的平行移动，简称为平移(translation)，图形的平移具有下列特征：(1)平移后的图形与原来图形的对应(连)线段平行或在同一条直线上，并且相等；(2)对应角相等；(3)图形的形状与大小都没有发生变化等，据此笔者把有关平移的数学问题归纳出以下几种类型。     

平面几何中的“平移”变换例析

“平移法”是几何变换常用的方法之一,在几何问题中有着广泛的应用.将几何图形中的各顶点沿它们所在的一组平行线向同一方向移动相同的距离,这种几何变换的方法叫做“平行移动法”,简称“平移法”.平移法有如下几个特点: ①几何图形中的各顶点分别在同一组平行线上     

平行线知识精讲

1郾平行线的概念在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图1,AB与CD平行,记作“AB∥CD”(或“CD∥AB”),读作“AB平行于CD”(或“CD平行于AB”).注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交;(2)今后遇到射线、线段平行时,特指它们所在的直线平行.2郾同一平面内两直线的位置关系在同一平面内两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.二者必居其一.3郾平行线公理经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注意:(1)此结论的前提条件是“经过已知直线外一点”,若经过已知直线上一点画已知直线的平行线,就与已知直…     

三线“摆平”抛物线中的平行四边形

<正>在平面直角坐标系内,已知平行四边形的两个顶点(不动的),确定另外两顶点(运动的,一顶点在抛物线上,另一顶点在直线上),是抛物线中一类比较综合的题目.笔者利用平行四边形的两个判定(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和对角线互相平分的四边形是平行四边形),通过平移动点所在直线,得到三条平行线,轻松实现了对抛物线上动点的寻找,使这一类型问题得以轻松解答.试举三例,帮助读者理解"三线摆平"的解决方法.1 知识准备1.坐标系中线段平移     

问题引领，促进学生深度思考——苏教版四上“认识平行”教学设计

<正>【教学内容】苏教版四上第92～93页例9、例10,以及“练一练”。【教学目标】1.认识两条直线的平行关系和平行线,能举出互相平行的例子,判断两条直线的平行关系。能用自己的方法画出互相平行的直线,了解平行线间距离的特点。2.使学生经历从现实空间抽象出平行线的过程,能应用对平行线的认识进行简单判断,体会数学抽象和简单的演绎,进一步积累图形学习活动的基本经验。发展学生的空间观念,培养学生应用数学的意识。3.促使学生主动参与学习活动,体验“图形与几何”知识和现实生活的联系,激发他们的学习兴趣。     

平行线与三角形的考点分析及复习研究

考点1角、相交线、平行线的概念仁必考知识回顾」1.如果匕A十艺B一9扩,那么匕A、乙B互为18扩,那么艺A、匕B互为;同角(或等角)的余角(戴补角) 2.两点间的距离是;点到直线的距离是指 3.叫做平行线.平行公理是,其推论是.若两直线平行,则相等,相等,互补;反之亦然, [考题举例〕 例1(1 997年南京市)若一个角的补角是它余角的3倍,则这个角的度数是(). (A)300(B)450(C)600(D)750 例2(2000年江苏省盐城市)已知匕。与乙月互余,若艺a一37021‘,则乙月一_. (答案:例一B例2.52039‘(或52.650)) 评注互余、互补的概念是表示两个角之间的数量关系的两…     

两直线平行的条件在解题中的应用

一、在画平行线中的应用例1我们都会用移动三角板的方法来画平行线,你能用这种方法过直线外一点画这条直线的平行线吗?请说出画法的道理.解:如图1所示,已知直线AB和直线外一点P,过P点画AB的平行线CD.画法:(1“)放”.把三角板的一边放在直线AB上.(2“)贴”.把直尺紧贴在三角板的     

平行线与三角形的考点分析及复习研究

考点】角、相交线、平行线的概念仁必考知识回顾〕1.如果乙A+艺B一90“,那么艺A,乙B互为辱;如果乙A十匕B一180。,那么艺八,乙B互为2.3.两点间的距离是;同角(哦等角)的余角(戴补角);点到直线的距离是指叫做平行线,平行公理是;其推论是,若两直线平行,则相等,相等,互补.反之亦然. 仁考题举例] 例l(1997年南京市)若一个角的补角是它余角的3倍,则这个角的度数是(). (A)30。(B)450(C)600(D)750 例2(2000年江苏省盐城市)已知匕a与艺夕互余,若艺a一37吧1’,则乙夕- (答案:例l.B例2.52039‘(或52.650)) 评注互余、互补的概念是表示两个角之间的…     

证明两条直线平行对角的转化方法

转化思想是一种重要的思想,可以说,数学解题的过程就是不断由陌生向熟悉,由未知向已知,由难到易的转化过程.我们学习的平行线的判定定理,就包含两个方面的转化:(1)课本通过三角尺的平移得出:只要保持同位角相等,画出的直线就平行于已知直线,从而引出了平行线的判定方法:同位角相等,两直线平行.然后通过推理,得出内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.这实际上是通过将内错角和同旁内角的关系转     

“平行线的认识”教学设计

“平行线认识”的教学目标是:学生认识平行线,初步知道两条平行线之间的距离处处相等;学会用三角板和直尺画平行线。教学过程可按看、试、画、练四个步骤进行。一、观察想象。教师用a、b 两根细木条代表两条直线,如右图放置在黑板上(直线 a 固定,直线 b 旋转),要求学生观察想象:这两条直线在什么情况下无论     

求异面直线距离的几种方法

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点,难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线,也不会将所求的问题进行转化.为此,下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法,相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路:若能找到一条直线c,使c与异面直线a和b都垂直,但c又不是a、b的公垂线,这时我们设法将直线c平移到直线c’处,使c’均与a、b均相交,则c’夹在α和占之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和     

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系是历年高考的一个热点,除考查位置关系之外,还考查轨迹问题及与圆有关的最值问题.点到直线的距离公式与垂径定理是解决与圆有关的问题所常用的两个方法,用好了能起到事半功倍的效果.ZHONGDIAN NANDIAN重点难点重点:(1)直线与圆的相交、相切问题,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;(2)计算弦长、面积,考查与圆有关的最值问题;(3)根据已知条件求圆的方程.难点:(1)圆的几何性质;(2)通