一道课本例题引出圆锥曲线的三个美妙结论

<正>人教普通高中课程标准实验教科书A版(2007年1月第2版)数学选修4—4"坐标系与参数方程"第38页例4:如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2,求证:|PA||PB|=|PC||PD|.     

课本中一道例题引发的探究性学习案例——圆的相交弦定理在圆锥曲线中的延伸与拓展

在初三我们学过圆的相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等.即: 若圆O内的两条相交弦AB,CD相交于点P,则| PA|·|PB|=|PC|·|PD| 在人教版的选修4-4中有这样一道例题(课本第38页例4):     

参数方程的三类应用

<正>在新课程中把参数方程作为选修内容供学生学习,我觉得是很有必要的,因为参数方程在解决某些圆锥曲线问题时起着很重要的作用,为我们多了一条思路和多了一个行之有效的方法.下面通过几个实例来说明其在解题中的应用.一、用参数方程解决某些等值问题.例1如图1,已知AB、CD是抛物线y⁼2Px(p>O)的两条相交于点P的弦,AB、CD与x轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.     

包装一下 探究会更精彩

人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》第38页有这样一个例题： 例1如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2且∠1=∠2,求证：     

由一道高考题看极限思想的应用

<正>题目(2012年江西省高考题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则(|PA|²+|PB|2+|PB|²)/|PC|2)/|PC|²的值为()(A)2(B)4(C)5(D)10首先看命题组给出的参考解答:解法1如图1,在Rt△ABC中,因为D为斜边AB的中点,所以|CD|=1/2|AB|,又P为CD中点,则|CP|=|PD|.     

好题犹如“宝藏” 深挖必将获益——对一道课本例题的深度探究

课本中的例、习题是经过许多专家、学者、一线优秀数学教师反复推敲、打磨的精品,具有一定的研究价值,可供我们一线教师进一步探究.下面以人教社选修4-4第二讲第三节"直线的参数方程"中例4为例开始笔者的探究过程.例题呈现如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.     

用三弦定理解竞赛题

由笔者提出并命名的三弦定理是:如图1,已知PA、PB、PC 是⊙O 的三条弦,记∠APB=α,∠PBC=β,则 PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.证明:设⊙O 的半径为 R,连结 AB、BC、AC,则 AC=2R·sin(α β),AB=2R·sinα,BC=2R·sinβ.由托勒密定理,得 PB·AC=PC·AB PA·BC.将上面三个等式代入此式,得PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.     

三余弦公式推论及其应用

一、三余弦公式及其推论三余弦公式:如图1,PO⊥平面α于O,PA∩α=A,ABα,直线AP与AB成θ角,AP与AO成θ1角,AO与AB成θ2角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明:如图1,作OB⊥AB于B,连结PB,则PB⊥AB,∠PAB=θ,∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,设|PA|=1,则|AO|=cosθ1,|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2,又|AB|=cosθ,所以cosθ=     

圆锥曲线上一类最值点的求法

我们知道,要确定某一图形的极值状态,探求最值点的位置,往往也并非轻而易举的事.本文就圆锥曲线上一点到两定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题,进行分类探讨,给出关于最值点位置的一组命题.1圆锥曲线C上一点P到两定点A、B的距离之和的最值命题1若A、B两点在圆锥曲线C的同侧,则|PA|+|PB|的最小值分下列三种情形:(1)圆锥曲线C是长轴为2a的椭圆,B是椭圆的一个焦点,F是另一焦点,则当P在FA的延长线上时,有最小值2a-|FA|.(图1(甲))图1(2)圆锥曲线C是焦点为B的抛物线,AQ垂直于准线,Q是垂足,则当P在AQ上时,有最小值|AQ|.(图1(乙))证明(1)设P′为椭圆上一点,则|P′A|+|P′B|=|P′A|+(2a-|P′F|)=2a-(|P′F|-|P′A|),又|PA|+|PB|=|PA|+(2a-|PF|)=2a-|FA|,∵|P′F|-|P′A|≤|FA|(三角形两边之差与第三边),∴|P′A|+|P′B|≥|PA|+|PB|(当且仅当P′与P重合时取等号),故|PA|+|PB|有最小值2a-|FA|.(2)的证明略.评注双曲线和圆(看作两焦点B、F重合于圆心的椭圆)有类似于命题...     

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

一个椭圆性质猜想的证明及推广

正文[1]最后提出了一个猜想:若A,B分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)一直径的两端,P为椭圆上的任意一点(不与A,B重合).直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C、D,则椭圆在点P处的切线平分线段CD.首先给出共轭直径的定义:定义一椭圆(双曲线),其中心为O,过O任作一直径AB,再作AB的平行弦EF,取EF的中点M,连接OM得椭圆(双曲线)的另一直径CD,则AB、CD称为椭圆(双曲线)的一对     

数学测试题

一、选择题1.下列计算正确的是()A.3a-1=31a B.a2 2a=2a3C.(-a)·3a2=-a6D.(-a)3÷(-a2)=a2.#16的平方根是()A.±4B.±2C.4D.-43.如果不等式组xx><3,$m有解,那么m的取值范围是()A.m>3B.m≥3C.m<3D.m≤34.如图,⊙O的两条弦AB、CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是()A.PC·CA=PB·BD B.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BA D.PB·PD=PC·PA5.若⊙O1与⊙O2交于A、B两点,半径分别为2和#2,公共弦长为2,则∠O1AO2=()A.105°B.75°或15°C.105°或15°D.15°6.在△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分…     

抛物线弦的一组性质

抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题.     

垂径定理的拓展与移植

如图 1,AB是⊙ O的弦 ,CD是过 AB中点P的⊙ O直径 ,则 CD垂直平分 AB,这是我们大家都非常熟悉的垂径定理 .点 P将弦 AB,直径 CD分成了四条线段 AP,PB,CP,PD,连OA,OB,容易计算有 :AP2 +PB2 +CP2 +PD2 =4R2 ( R为⊙ O的半径 )成立 ,很自然的就提出了这样一个问题 :该结论对圆内任意垂直两弦都成立吗 ?经探索 ,回答是肯定的 ,并可将其移植到椭圆中 .定理 :设⊙ O的半径为 R,两互相垂直的直线 l1 ,l2 的交点为 P,它们分别与⊙ O相交于A、B、C、D,令 P内 (外 )分弦 AB,CD所得的四条线段长为 d1 、d2 、d3 、d4.则 d21 +d22…     

由一个例题到圆锥曲线“相交弦定理”的探索

例已知抛物线y2=4x外一点P(5/2,1)．(1)过点P的直线l与抛物线交于A、B两点,若点P刚好为弦AB的中点．(Ⅰ)求直线l的方程; (Ⅱ)若过线段AB上任一点P1(不含端点A、B)作倾斜角为π-arctan2的直线l1交于A1、B1两点,求证:|P1A|·|P1B|=|P1A1|·|P1B1|．分析:(Ⅰ)y=2x-4;     

关于二次曲线定向弦的讨论

在许多高三数学复习资料中有这样一道题:"已知椭圆(x2)/(4) (y2)/(9)=1上有一点P(1,(3(√3))/2),A,B是椭圆上异于点P的另外两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,求证直线AB的斜率为定值."通过对这个问题的研究,笔者得到了一些与定向弦(如果点A,B在一条二次曲线上,那么我们就把AB称为这条二次曲线的一条弦.如果直线AB的斜率为定值,我们则称AB是这条二次曲线的定向弦)相关的有趣性质.     

一类无理函数最值的求法(高一、高二、高三)

若A、B为平面内的两个定点,P为一个动点,那么1.当P在线段AB上时,|PA| |PB|最小. 2.当P在线段AB的延长线上时,|PA|-|PB|最大. 利用以上原理,结合解析几何知识可巧妙地     

计算弦长方法种种

题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因…     

辅助圆的作用

作辅助圆往往有助于解决问题.例1如图1,PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于D,且PB=4,PD=3,则AD·DC=__.分析由题目中的乘积式,自然想到相交弦定理.由∠APB=2∠ACB,则想到一条弧所对的周心角等于它所对的圆周角的2倍,因此想到作辅助圆.     

巧用极坐标方程解某些定值问题

一般说来,证明椭圆、抛物线中的某些倒数和为定值问题中,都可利用二次曲线的极坐标方程来解决,现举例如下。 例1 经过椭圆的焦点F任意作两条互相垂直的弦AB和CD,求证: 1/|AB| 1/|CD|为定值。 证 建立如图所示的极坐标系。 此时,椭圆的极坐标方程为: