基于MATLAB求解常微分方程

本文结合求解常微分方程和Matlab软件的特点,以常微分方程中的几个具体问题为例,介绍了如何利用MatLab软件求解常微分方程。     

一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系

微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义。微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在,其应用范围具有相关的广泛性。通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题,从而使我们能够实现动态角度的分析,将生活研究更加真实化准确化。一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构,对一类微分方程的解及解的导数进行研究,对我们学习微分方程具有重要作用。本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度,探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系,从而帮助我们更好地进行微分方程的学习。     

牛顿在微分方程方面的奠基性工作

微分方程是伴随微积分应用成长发展的数学分支之一，牛顿是第一位研究微分方程的数学家。他在制定微积分的同时奠定了微分方程的有关理论，虽没有形成完整体系，但其思想方法对创立和发展微分方程这一数学分支具有重要的理论意义。     

夹逼准则与微分方程的上下解方法

引进微分方程上下解的概念,应用极限夹逼准则思想,以椭圆型偏微分方程为例,用上解与下解来夹逼证明了半线性椭圆型偏微分方程边值问题解的存在性。     

非线性弦振动方程的新精确解

利用改进的tanh函数法，将非线性弦振动方程化为一阶非线性常微分方程组。通过求解这个非线性常微分方程组，获得了非线性弦振动方程的新精确类孤子解、三角函数解、复数解。这种方法也适用于求解其他非线性发展方程。     

偏微分方程数值解法的研究

本文将从两个方面来讨论偏微分方程的数值解法,其一为网格比对数值解法的影响,其二为不同差分格式对偏微分方程数值解法的影响,这两个方面都会影响偏微分方程数值解的结果．     

上、下解与拟上下解的存在性

利用上、下解与拟上下解方法讨论常微分方程问题时,文献均是假设上、下解与拟上下解是存在的,进而讨论方程的解.给出一阶常微分方程初值问题的上、下解与拟上下解的存在性定理,为利用上、下解与拟上下解方法讨论一阶常微分方程初值问题提供充分的依据.     

非线性测度微分方程的有界变差解

本文首先讨论一类非线性测度微分方程和Kurzweil广义常微分方程的关系,进而得到此类测度微分方程有界变差解的存在性．     

常微分方程的通解与全部解的关系

本文针对常微分方程只重视研究通解,而忽视全部解的现象,讨论了通解与全部解的关系:微分方程的全部解应由通解与特解、常数解构成;当特解与常数解都能包含于通解时,通解才是全部解;而对全微分方程、线性方程(组),它们的通解就是全部解.由此可以改进常微分方程的教学体系.     

关于常微分方程奇解的逆问题

给出了求常微分方程以已知函数为奇解的多种方法,方法和实例表明有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的。     

Lagrange之辅助方程理论产生的原因

辅助方程理论即求解三次方程时需预解一个二次的辅助方程,解四次方程时需预解一个三次的辅助方程,是Lagrange对于代数方程求解的贡献之一。该理论直接导致了La-grange置换思想的产生,为用置换思想进行代数方程求解奠定了基础。由此以后一大批代数学家致力于方程求解,并最终使代数方程求解得以完美终结,甚至导致了代数学的新生。剖析了Lagrange的辅助方程理论出现的原因,并阐述了该理论的影响。     

一类多元一次不定方程的正整数解的组数问题

不定方程,是指未知数的个数多于独立方程的个数的方程或方程组．一般地,不定方程存在无穷多组解．因此,要求一个不定方程的全部的解,是相当困难的,有时甚至是不可能的或不现实的．通过利用容斥原理和排列组合的有关知识求得一类不定方程的正整数解的组数并得到一些解该类型题的常用的技巧与方法．     

借助Euler方程求一类Riccati方程的特解

直接利用Euler方程和拟Euler方程的形式解,求Riccati方程的特解,或通过对Riccati方程进行初等变换,再利用Euler方程和拟Euler方程的形式解,求Riccati方程的特解.     

一阶线性偏微分方程求解的教学方法新探

通过常微分方程与偏微分方程之间的关系我们寻找到一种特殊的规范变换,通过此变换将复杂的偏微分方程的求解转化为可积分的偏微分方程(含参数的常微分方程)的求解.     

压缩映象原理的应用

在代数方程、微分方程和积分方程的求解问题中,通常把所求的解归结为度量空间中映射的不动点,然后应用压缩映象原理来统一处理许多方程解的存在性和唯一性问题。     

齐次型方程及其求解

对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式——齐次型方程进行了研究,并将齐次方程的“变量变换”法求解过程推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了一阶微分方程的几种新的可积类型,其中也包括部分黎卡提方程和贝努利方程。     

弯曲变形方程的定义域

<材料力学>中出现的弯矩方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线方程的定义域不尽一致.对弯矩方程与集中力偶,挠曲线近似微分方程与弯矩,挠曲线曲率与挠曲线方程之间的关系分析,得出弯矩方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线方程的定义域.     

Mathematica的数值计算功能的探讨

主要探讨Mathematica在求解非线性方程（高次代数方程、超越方程）和微分方程以及数据拟合中的数值计算功能。     

Riccati方程的可积条件

黎卡提(Riccati)方程y′=p(x)y2+q(x)y+r(x)一般情况下是不可积的,本文利用变量变换先将Riccati方程化成二阶变系数齐线性方程,再化成二阶常系数线性方程.从而得到Riccati方程的若干可积条件.     

量子力学的八元数的运动方程

给出了量子力学的八元数形式的运动方程，并由此导出了薛定谔方程．讨论了八元数方程的协史性，八元数方程与Dirac方程的关系等问题．