如何选用勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理之一，其应用极其广泛．如何根据已知条件选用勾股定理及其逆定理呢？本文总结几条规律供大家参考．一、已知条件中有直角时，可考虑选用勾股定理．例1如图１，矩形ABCD中，AB＝８，BC＝１０，沿AF折叠矩形ABCD，使点D刚好落在BC边上的E点处，求CF及折痕AF的长．（２００２年泰州市中考试题）解：由折叠关系可知△AEF≌△ADF，故AE＝AD＝１０，EF＝DF．在Rt△ABE中，由勾股定理有AB２＋BE２＝AE２，故８２＋BE２＝１０２，解得BE＝６．∴CE＝BC－BE＝１０－６＝４．在Rt△…     

关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

运用全等三角形证明中考题

学习了全等三角形的有关知识后,我们可以运用全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质来证明一些中考题．例1如图工,AB上BC,AI）上DC,垂足分别为B。D,／l＝／2．求证：AB＝AD．（1997年福州市）分析要证AuB二AD,只要证凸A－BC。rtADC即可．在这两个三角形中,／l＝／2,AC＝AC,有一边和这边的一个邻角对应相等,只要再证／B＝／D或／ACB＝／ACD。根据条件,ABIBC,AD上DC,那么／B＝／D成立．放结论可证,证明略．例2如图八点C是AB的中点,CD．BE,且（：＝BE．求证：／D＝／E．（1998年重庆市）分析要证…     

用平移法解(证)梯形问题

求解有关梯形的几何证明题或计算题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形或其他特殊四边形问题,从而使问题巧妙地获解（证）．乎移法即是一种非常有效的方法,将梯形中的有关线段平行移动到适当位置,能够使某些几何量巧妙地联系起来,从而迅速打通解题思路．现举例说明之．一、平移梯形的腰例1如图地梯形ABI中,AD／BC,AD＋AB＝BC,zB＝70,求ZADC的度数．分析将AB平移到DE的位置（即过D作DE／AB交BC于E）,得OABED,则ZI＝Z3＝ZB＝70,AD＝BE,AB＝DE．又AD＋AB＝BC＝BE＋EC,…AB＝EC二DE．故ZZ…     

(二十三)圆一章测试卷(A卷)

一、填空题（每空2分，共36分）：1．在的内接△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，E是BC的中点，AE交BC于D，则BD＝；2在中，弦AB经过弦CD的中点P，AB＝16cm，AP：PB—3：l，则CD一；3．在OO中，AB是直径，长为10／了cm的弦CD垂直平分OA于E，则OO的面积为4．在圆内接四边形＊＊CD中，若上B。＊D一4：5，则／B一，／D一；5．在圆内接三角形中，若三内角度数的比是2：3：4，则此三角形最小角所对的弧的度数是6．在00中，AB是直径，AC是弦，OD上AB交AC于D．若AD·AC—32，则AB一．；7在圆外切四边形ABCD中，若AB—2…     

一道中考“压轴题”的解题思路剖析

中考“压轴题”历来是中学生心目中一堵高不可攀的巨墙．多年来，师生共同的意愿是能否在“题海战’中获得一个惊喜，而得到一个高分．但是随着教改的不断深入，能力与智力综合型试题要求必须从“题海战”中解脱，更多地让学生学会灵活的思维方法及综合分析问题的能力，特别是中考“压轴题”的多变构成了对死读书学生的威胁．下面就无锡市1997年中考“压轴题”的解题思路作一些尝试性剖析，希望能对大家有所启示．一、试题：如图，在等腰梯形ABCD中，AB／／CD，对角线AC上BD，垂足为O，BC＝13／了，设AB一。，CD＝b，a＋b＝34，6／2…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其逆定理是几何中计分重要的两个定理，它们在解题中有着较为广泛的应用．现个例说明它们在几何解题中的综合应用．例1在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=解如图1，△ABD中AB＝13，Al）。12，BIj＝5，川西’一月Z）‘。－BI）’．根据匈股定理的逆定理，得／入DB一9｝．从历上A＊C一90”‘在Rt乙闩＊工中，由勾股定理，得例2如因2，在门边形ABC”Ij中，已知AB：＊C：厂U：＊A一2：2：3：1，且／月一goo，则／I－）AB的度数为解不大般性，可设AD—1，则AB一B、一2，ID一3．连…     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

(十七)相似形测试卷(A卷)

一、填空题（每空4分，共48分）：1．若线段a＝6，b＝24，则a与b的比例中项c＝；2．若线段a＝3，b＝12，c干5，则a、b、c的第四比例项d一＿；｝若c：b：c72：3：4，则Q＋O。C—；4．如图l，在凸ABC中，DE／／BC，AD—5，DB—10，AE—4，BC—18，则EC一＿，DE一5．如图2，在西AB（”中，AB—12，BC—10，AC—8，AD是角乎分线，BD一，DC一；6．若两个相似三中C对应进的比是2。3，则它们的周长比是，面积比是；7．在Rt凸ABC中，AC—scm，形C—6cm，CD是斜边AB上的高，则AD一，DB，CD一H、单项选择题（每小题5分，共ZO分…     

共边比例定理及其应用

共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解　　连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2…     

中考题中的解直角三角形问题

纵观近几年各地中考试题中的应用题，有不少题目需要借助于解直角三角形的知识才能获解．常见的有以下几种类型．一、测量高度1．测量两相邻物体的高这类问题一般是由较矮物体的顶部向较高的物体作垂线，从而把问题转化为解直角三角形来解决．例1如图1，两建筑物的水平距离为36米，从A点测得D点的俯角a为36”，测得C点的俯角为45”，求这两个建筑物的高．（精确到0．1米）（已知ig36”一0·7265，Ctg36”一1．3764）（1996年辽宁省中考试题）解过D作HE上AB，E为垂足，在Rt凸ABC中，”．”zACB一二月一45”，AB＝BC＝36m．在Rt凸AH…     

函数与几何综合题分析

函数与几何综合题能有效地考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度．1999年各地的中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例．与传统的考题相比，这些题型设计优美、新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求．本文从几个不同的角度加以归纳和总结，供2000届学生中考复习时参考．1来函数的最值例1已知：如图1，在OO的内接凸ABC中，AB＋AC一12，AD上BC，垂足为D（点D在边BC上），且AD—3．设OO的半径为y，AB的长：！X．（1）求y与X之间的函数关系式；（2）当AB的长等于多少时，…     

以三角函数为根的方程问题

有关以角的三角函数为一元二次方程的两根的方程问题,题型多样,综合性强,是各地常见的中考综合题．现举例介绍这类问题的解法．一、证明三角函数为某一元二次方程的两个根树IO6年黑龙江省）如图l,AD是①O的直径,一条直线l与OO交于E、F两点,过点A、D分别作直线l的垂线,垂足是B、C,CD交OO于C．（l）求证：AD·BE＝FC·DF;（2）设AB＝。,Bc＝n,CD＝p．求证：哈／FAD、电全州F是方程。’－。＋p＝0的两个实根;（3）若（2）中的方程满足n‘＝4mp,判断直线l与0O的位置关系．分析（）、（3）略．（2）在RtAIDFC和Rt…     

证一道题 弄清一串

命题已知：如图亚,E为AC上一点．求证：（1）若AB＝AD,BC＝DC,贝uBE＝DE;（R）若AB＝AD,BE＝DE,贝uBC＝DC;（皿）若BE二DE,BC＝DC,贝uAB＝AD．证明（1）在凸ABC和西ADC中,AB＝AD,BC＝DC,AC＝AC,凸ABC＿凸ADC．／l二ZZ在rtABE和rtADE中,AB＝AD,士1＝ZZ,AE＝AE,凸ABE＿凸ADE．删一脱．类似地,可证（D）、（皿）成立．掌握了此题的证明思路,《几何》教材第二册中的几道习题就迎刃而解了．例1已知：如图2,AB＝AC,EB＝EC,AE的延长钱交BC于D．求证：BD＝CD．（P46第11题）简析…     

关于线段的方程(组)

如果关于未知线段的几何等式中,还有其他本知线段,而且它们又有某种等量关系,那么必须借助方程（组）,才能倾利求解．例1如图1,D是ABC外接圆上的一点,且BD＝DC＝6cm,连接AD交BC于M,如AM＝9cm,求AD的长．（甘肃,1997）分析易证．推得ADB~BDM,即AD·MD=BD2．AD为所求,MD也是未知线段,且MD＝AD．AM＝AD－9．设AD＝x,则MD＝（x－9）．代入上式,得方程x（－9）＝36,解出一l＝12,x2＝－3（舍去）…．AD＝12（cm）．例2如图2,EC是OO的直径,EC＝2,作BC上EC于C,使BC＝2,过B作OO的切线BA交CE的延长…     

一道高考题的另一种解法

例2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（吉林卷）第18题： 如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形,AB／／CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点．     

圆幂定理在几何计算中的应用

相交弦定理和切割统定理以及它们的推论统称圆幂定理．在解有关圆的问题中,应用广泛．下面举例说明圆幂定理在几何计算中的应用．一、来国的半径例1如图三月0的弦AB与半径OC交于P点,＊是＊c的中点,且AP：PB＝1：2,若AB＝18,则①0的半径等于（）（A）3拓;（B）2拓;（C）厄;（D）4拓．（1997年大连市中考试题）分析延长CO交①O于D,设①O半径为r,则CP一会r,DP一县。由相交弦定理知”””’”””—“－2”’一2’”一’———”—“～——””’PA·PB。PC·PD．因AP：PB一回：2,AB＝18,故——。＿—＿＿。＿＿、…     

15°角的三角函数值及运用

由于或～45。因而15。角也可以说是一个特殊角．可以构造下列图形求15“角的三角函数值（我们只求sin15”的值）．如图1，在Rt凸ABC中，上A一3O”。延长CA到H，使AH一AB，则上D一15”，设BC—t…AB＝AD＝Zt，AC。／t，CD＝HC＋AD＝（2十八）t．根据勾股定理BD一厅近万五图1是根据15”一2X3O”构造的直角三角形．还可以如图2进行构造．在Rt凸ABC中，zA—30“，AD是角平分线，利用角平分线的性质来求sin15。另外，15”一45”－30”或15”一60a－45”．因而又可以如图3、图4进行构造．如图3，在Rt凸ABC中，zA一ZB—45”，z…     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

垂径定理在证题中的应用

垂径定理及其推论说明的是圆中的直径与弦以及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系．应用这对应关系,可顺利地证明一些几何命题．现以几道中考题为例说明如下：例1如图1,已知AlABC内接于①O,BC是④O的直径,AD是AIABC的高,OE／AC,OE交AB于点E．求证：AE＝BE．门998年广州市）简析O为①O的圆心,要证AE二BE,只要证OE上用．证明注意到BC是①O的直径,有fBAC＝op．例2如图2,BC是①O的直径,弦AD上BC于E,ZC＝gr．求证：凸ABD为等边三角形．（199年吉林省）简析显见／D＝／C＝gr．这样,要证凸ABD为等边三角形…