一道IMO预选题的简证

第34届IMO预选题中有以色列提供的一道试题,在△ABC的三条边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使△DEF为等边三角形,a,b,c分别表示△ABC的三边长,而S表示它的面积,求证: DE≥22~(1/2)S·(a~2 b~2 c~2 4~3(1/2)S)~(-(1/2)) (1) (参见《中等数学》1996年第1期第29页) 本文给出一种较为简单的证明 证 如图△DEF是正三角形,令其边长为d,又设。 卢=A 60°=(p,则2S=d·(csina十bsin卢)=d[csma bsin(甲-o)] =d[(c-bcos~)sina bsinqocosa] =d(c-bcos~)~2 b~2sin2伊(1/2)·sin(O ")≤d(c-bcos(p)~2 b~2sin2甲(1/2)· 又(c-bcosqo)~2 b~2sin~2甲=c~2 b~2-2bccos(p=b~2 C~2-2bccos(A 60°) =b~2 c~2-bccosA 3~(1/2)bcsinA =(1/2)(b~2 c~2 a~2) 23~(1/2)S. ∴由(2)得d≥22~(1/2)S[a~2 b~2 c~2 43~(1/2)S]~-(1/2),即不等式(1)成立.     

数学奥林匹克高中训练题(33)

第一试 一、选择题(满分36分,每小题6分) 1.方程[x~2 1]~(1/2)-[x~2 2]~(1/2)=1-1/[x~2 1]~(1/3)的解集是( ).     

一个无理不等式的再推广

文[1]给了出如下二元不等式:设 x,y>0,且 x y=1,则(x~(1/2) y~(1/2))(1/(1 x)~(1/2) 1/(1 y)~(1/2))≤4/3~(1/2).(1)。文[1]给出了(1)左边的下界:设 x,y>0,且 x y=1,则(x~(1/2) y~(1/2))(1/(1 x)~(1/2) 1/(1 y)~(1/2))>1 1/2~(1/2).(2)文[3]考虑了(1)的根指教推广.得到:设     

关于λ_n=maxA_iA_j/minA_iA_j的下界

一、平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比maxA_iA_j/minA_iA_j记为λ_n,关于λ_n的下述讨论: 1.λ_n≥2~(1/2)/2[n~(1/2)] [1]中没有注意到函数[x]在x为整数处的不连续性,所以[1]中其实只对n不是完全平方数时证明了结论(见[1]中小文注)。 2.λ_n≥n/3~(1/2) [2]中原题为 maxP_iP_j≤(n/3)~(1/2)minP_iP_j。此不等式显然不成立。如取P_1、P_2,使P_1P_2     

C(S~m,r)数的应用

徐利治、蒋茂森、朱自强在文献[1]中提出C(S~(m),)数,其枚举发生函数是(P.30～31)（1+t+t~2+…t~3）~(m)=sum from r=0 to ∞t~r[sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))],其数C(S~m,r)=sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))本文计论了C(S~m,r)数在“邮票排列问题”中的应用(文献[1],P32～33),得到下列公式B(S,n)=sum from (?) C((S-1)~(m-r),r)。本文讨论了C(S~m,r)数在概率论中的应用（文献[2],P12～13)。得到下列公式P(A)=C(S-1)~(m),λ-n)/s~(m)。     

对数非线性Nelson-de La Pena方程的耗散结构解

Einstein过程的对数非线性Nelson—de la Pena方程.(?)2mD((?)φ±/(?)t)=[2mD~2(?)~2 G bln(φ φ-]φ_± (1)亦可用作讨论耗散结构解的基本方程;式中,φ φ-=ρ为密度,G为位形r的任意函数,m为粒子的质量,D和b皆为大于零的常数,对数非线性Nelson-de la Pena方程的一个显著特点是满足迭加原理,这同量子力学波导理论中的非线性BB—M方程是类似的.设φ±=R(r·t)exp[±S(r·t](2)则有(?)φ±/(?)t=(1/R(?)R/(?)t±(?)S/(?)t)φ_± (3)(?)~2φ_±=[(?)~2R/R ((?)S)±(?)~2S±2/R(?)R·(?)S]φ_± (4)将(2)、(3)、(4)代人(1)式,分开其“双号”部份和“单号”部份,有     

一个代数不等式的几何解释

设a,b,c∈R_ ,则有(a~2 ab b~2)~(1/2) (b~2 bc c~2)~(1/2) (c~2 ca a~2)~(1/2)≥3~(*1/2)(a b c).这一不等式除代数证法外,文[1]、[2]都给出了一种几何证法。其思路是依余弦定理分别表出左端各项,然后求其最小值。但都没有给出左、右两     

再向虎山行--纠正一个求导证明的错误

湖北《中学数学》2001年刊载了文[1]所提问题:设 a、b、c 是△ABC的三边,则2<∑(a/b c)~(1/2)<1 2/3~(1/2). ①①式相当美观,且颇具挑战性,几年来,很多文章(如文[2]、[3]等)用初等方法进行证明.从出错纠错,到成功精彩,真令人感动,因此说,文[1]提出的问题是有开创性的,但文[1]的求导证明是有错误的.为了看清这种错误,抄录文[1]求导部分如下:     

费尔马点的一个新公式

本文首先导出费尔马点的一个新公式,然后揭示此公式与芬斯勒—哈德维格不等式的关系,这样就自然显示出张延卫等三人在文[1]中给出的不等式来。 设a、b、c是ΔABC的三边,三角形的最大内角小于于120°,它的面积为S,F是费尔马点,FA=f_a,EB=f_b,FC=f_c,f=f_a f_b f_c.那么, f=2~(1/2)/2[a~2 b~2 c~2 4(3~(1/2))S]~(1/2). 证明:如图所示,任取     

数学奥林匹克高中训练题(29)

第一试(总分150分) 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.[1-(sin~2)1997]~(1/2)-[1-(cos~2)1997]~(1/2)等于( ).     

也谈基本不等式组的几何证法

[1],[2]文介绍了基本不等式组(2ab)/(a+b)≤(ab)~(1/2)≤(a+b)/2≤((a~2+b~2)/2)~(1/2)的几何证法,本文再介绍几种几何证法,这几种证法都很简单,它们与[1],[2]文的证法比较起来,直观性更好,并且比[1]、[2]文还多证了一种平均值,即负二次幂平均值     

配方法在初中数学解题中的应用

配方法的思想对我们初中生来说是一种崭新的思维方式。当某些数学问题的研究讨论陷入僵持时,配方法常常能给予巧妙的配合,使我们突然间获得解决问题的方法和结果。 [例1] 化简(5 12(3 2(2~(1/2)))~(1/2))~(1/2) 解:原式=(5 12((2~(1/2) 1)~2)~(1/2))~(1/2) =(17 12(2~(1/2)))~(1/2) =(3~2 12(2~(1/2)) ((2(2~(1/2)))~2))~(1/2) =((3 2(2~(1/2)))~2)~(1/2) =3 2(2(1/2)) [例2] 已知:x~2 y~2 z~2 1/x~2 1/y~2 1/z~2=6,求证:xyz(x y z)=xy yz zx     

黄金双曲线的若干性质探求

文[1]、文[2]、文[3]给出了黄金双曲线的定义及证明了其若干性质如下:定义若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的离心率为黄金比的倒数(记ω=(5~(1/2)-1)/2,e=c/a=1/ω= (5~(1/2) 1)/2),则称双曲线为黄金双曲线.性质1黄金双曲线都具有方程x~2-ωy~2 =a~2的形式.     

简证一题

题目:设[x]为不超过x的最大整数,当n为自然数时,求证:[n~(1/2)+(n+1)~(1/2)]=[(4n+2)~(1/2)]. (美国普特南数学竞赛,1948年) 证明 1.构造不等式(4n+1)~(1/2)相似文献   

关于平均值的一类不等式

众所周通,对任二正实数,总有(ab)~(1/2)≤(1/2)(a+b),这两者之间还存在别的平均? 杨镇抗等人在[1]、[2]、[3]中获得了不等式链:(ab)~(1/2)≤L(a,b)≤(1/?)(a+b),(ab)~(1/2)≤E(a,b)≤(1/2)(a+b),文家金在[4]中把它们推广为:(ab)~(1/2)≤…≤L_K(a,b)≤…≤L_1(a,b)≤E_1(a,b)≤…≤E_K(o,b)≤…≤(1/2)(a+b),林同坡在[5]中指出:当γ=1/3时,L(a,b)≤M_γ(a,b);当γ<1/3且a≠b时,此不等式不成立。王挽澜、陈计在[5]中将此不等式作了如下推广:设a,b,a′,b′∈R~+,且(a/b)≥1,(a′/b′)≥1,则。本文进一步加强和推广了上述几个结果。     

正确运用概念提高解题能力

概念是进行判断、推理的基础。概念清晰,条理分明,思维自易展开。概念摸糊,杂乱无章,则思维难于展开。因此教师必须讲清概念,在此基础上启发引导学生正确运用概念解决数学问题。本文打算运用概念对一些数学问题的探求,说明正确运用概念对促进学生思维,开发智力,提高解题能力的作用。 [例1] 求S=(x-1)~4 4(x-1)~3 6(x-1)~2 4(x-1) 1 [分析] 本例如用一般的公式乘开再化简整理来求解则较繁,如果我们应用二项式这个概念则变得较易。事实上、由二项式定理有(p 1)~4=p~4 4p~3 6p~2 4p 1而此关于p的系数正好与S关于(x-1)的系数相同,因此只需令p=x-1即有S=(x-1 1)~4=x~4。 [例2] 试证明     

运用不等式■≥■证明一类无理不等式

关于无理不等式的证明,近来有许多文章(如文[1]、[2]、[3]等)都介绍了一种的证明方法:等号成立条件法.在此应用“方差”对其中一类无理不等式给出初中学生也能理解的简洁证法.方差是初中代数《统计初步》中的一个重要概念.S~2=(1/n)[(x_1- )~2 (x_2- )~2 … (x_n- )~2]其中 =(1/n)(x_1 x_2 … x_n),S~2表示方差,显见     

关于一个命题的证明

文[1]中命题13:如果Ω中的左零化子满极小(或极大)条件,则Ω的任意子环S中的左零化子亦然.文[1]在这个命题的证明中“易知,L_1~*(?)L_2~*(?)R_1~*(?)R_2~*(?)L_1(?)L_2.”这里L_1~*与L_2~*分别是子环S的非空子集S1_与S_2在S中的左零化子,L_1与L_2分别是S_1与S_2在Ω中的左零化子,R_1~*R_2~*分别是L_1~*与L_2~*在S中的左零化子.实际上,L_1~*(?)L_2~*(?)L_1(?)L_2现举一反例如下:     

用两个单项式相除的运算规定来澄清认识

在中小学数学教育刊物上,有教师著文发表了同出一辙的观点(以刊载时间先后为序):文[1]αb÷α6=α6÷α·6.文[2]63~(1/2)÷3 6~(1/2)=6×3~(1/2)÷3×6~(1/2).文[3]认为方程8÷0.4x=11.29-10.65与方程8÷(0.4x)=11.29-10.65有区别.文[4]将方程0.95÷4x=1.9中的“0.95     

凸函数的一个特性及其应用

高中《代数》(必修本)下册第12页例8: 求证 2~(1/2) 7~(1/2)<3~(1/2) 6~(1/2). 文[1]的作者注意到这不是一个特殊的现象,他在[1]中证明了对于n∈N,n≥2,0相似文献