一个命题的推广及其应用

有这样一个命题:正三角形内任一条长为a的线段PQ,在三边上的射影为m、n、l,则:m~2 n~2 l~2=1/2·3a~2;很容易验证对正方形内任一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为m、n、l、r,则m~2十n~2十l~2 r~2=2a~2(即1/2·4a~2)也是正确的。(如下图)有了以上两例作基础,我们将其推广到一般情况,并证明其正确性:正n边形内任意一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为a_1、a_2、…、a_n,则 a_1~2 a_2~2 … a_n~z=1/2·na~2 引理:正n边形内任意一条长为a的线段PQ平移到任何位置不改变它在各边上射影的长。     

一道湖北卷高考向量试题赏析

2004年高考数学(湖北卷)理科第19题: 如图1,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ取何值时,BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.     

湖北卷一道高考向量试题的赏析

2004年高考数学(湖北卷)理科第19题: 如图1,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问(→PQ)与(→BC)的夹角θ取何值时,(→BP)·(→CQ)的值最大?并求出这个最大值.     

对椭圆中心张直角的弦的一个性质

性质　椭圆的中心到对中心张直角的弦的距离为一定值 .具体对椭圆 x2a2 y2b2 =1来说 ,直线 PQ交椭圆于 P,Q两点 ,且 OP⊥ OQ,O到 PQ的距离为 d,则 d2 =a2 b2a2 b2 .证明　设 OP:y=kx,将它代入椭圆方程 x2a2 y2b2 =1 ,得( b2 a2 k2 ) x2 =a2 b2 ,∴ x2 =a2 b2b2 a2 k2 .| OP| 2 =x2 y2 =( 1 k2 ) x2 =a2 b2 ( 1 k2 )b2 a2 k2 .用 - 1k代 k得 | OQ| 2 =a2 b2 ( 1 k2 )b2 k2 a2 ,∴ 1| OP| 2 1| OQ| 2=b2 a2 k2a2 b2 ( 1 k2 ) b2 k2 a2a2 b2 ( 1 k2 ) =a2 b2a2 b2 .而 d=| OP|× | OQ|| PQ| ,…     

异面直线的两个结论(高二)

1.定理 设P、Q、M、N是空向任意四点,则PM2-PN2=QM2-QN2(?)PQ⊥MN. 证明 如图1,设 (PM|→)=a,(PN|→)=b,(PQ|→)=c,由PM2-PN2=QM2-QN2,得 a2-b2=(a-c)2-(b-c)2,即 a·c-b·c=0, (a-b)·c=0,所以 PQ⊥MN. 反之,若PQ⊥MN,则可逆推过去得出 PM2-PN2=QM2-QN2.于是定理得证.这个定理给出了异面直线垂直的一个充要     

巧用“对称”解几何题

在处理几何问题时,我们经常会将图形或图形中的某些部分通过对称变换,变到一个适当的位置,以便于发现图形元素的关系,开拓思路,使问题获得解决.现举例如下:1利用对称点求解例1设A、B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上滑动,问PQ停在什么位置,使AP PQ QB的长最短?分析如图,作点A关于a的对称点A',过B作BD//a,且使BD=PQ,连结A'D,过B作BQ//A'D,使A'D、BQ分别交a于P、Q.这时AP PQ QB的长最短.2利用轴对称的性质例2已知:如图,直线a同时垂直平分线段AB和CD,M、N分别是AC和BD的中点.求证:∠CAD=∠DBC.分析要证明∠CAD=∠D…     

对一个数学问题的探究

在《数学教学》2008年第12期的数学问题与解答栏目中有这样一个问题： 题目 如图1，已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,切椭圆于点P的直线与圆O：x^2＋y^2=a^2相交于点M，N，圆O在点M，N处的切线相交于点Q，求证：PQ⊥x轴．     

解析几何中几类重要问题的解法和技巧

例1 已知实数A、B、C满足A^2 B^2=2C^2，求证直线Ax By C=0与圆x^2 y^2=1交于不同两点P、Q，并求弦PQ的长。     

一道解几题解法的引申(高二)

题设P为圆C:(x-3)2 y2=1上的动点,Q为抛物线y2=x上的动点,求|PQ|的最小值. 解由条件可知C(3,0),设Q(a2,a),则|QC|2=(a2-3)2 a2=(a2-(5/2))2 11/4,即当a2=5/2时,| QC |min=(√11/2),此时,| PQ |的最小值为(√11/2)-1. 此题的解法可作以下类比,引申. 引申1 一个酒杯的横截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,今在杯内放入一个     

中考数学折叠问题例析

点P的位置 ,折痕为BQ ,连结PQ .( 1 )求MP的长 ;( 2 )求证 :以PQ为边长的正方形的面积等于13.( 1 996 ,宁夏回族自治区中考题 )分析 :( 1 )连结BP、PC .MN是正方形对折的折痕 ,BP =PC .又点C和点P关于BQ折痕成轴对称 ,则BQ垂直平分PC ,有BP =BC ,∠ 1 =∠ 2 .故BP =PC =BC =1 ,△PBC是等边三角形 ,即∠ 1 =∠ 2 =30°.在Rt△BNP中 ,PN =BP2 -BN2=1 - 122 =32 .故MP =MN -PN =1 - 32 .( 2 )通过折叠不难得到PQ =QC ,∠ 1 =∠ 2 .图 4在Rt△QCB中 ,QC =BC·tan 30° =33.故以PQ为边长的正方形面积是 332=13.4　两…     

一道高考向量试题的解法分析

20 0 4年高考数学 (湖北卷 )理科第 19题 :如图 1,在Rt△ABC中 ,已知BC =a ,若长为 2a的线段PQ以点A为中点 ,问PQ与BC的夹角θ取何值时 ,BP·CQ的值最大 ?并求出这个最大值 .1　基本解法本题主要考查向量的概念 ,平面向量的运算法则 ,考查运用向量及函数知识的能力 .解法Ⅰ　∵AB⊥AC ,故AB·AC =0 .∵AP =- AQ ,BP =AP- AB ,CQ =AQ -AC ,∴BP·CQ =(AP -AB)· (AQ -AC)=AP· AQ - AP· AC- AB· AQ +AB·AC=-a2 -AP·AC +AB·AP=-a2 +AP· (AB- AC)=-a2 +12 PQ·BC=-a2 +a2 cosθ .当cosθ=1,即θ =0 (…     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

三割线定理的纯平面几何简证

贵刊2005年第9期刊登的三割线定理为：如图，PAB，PCD为⊙O的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ交⊙O于点E、F。则1/PE＋1/PF=2/PQ。     

一个轨迹问题的解后反思

轨迹问题设PQ是椭圆x2a2 by22=1(a>b>0)的弦,且PQ与x轴垂直,A1,A2是椭圆的左右顶点,求直线PA1和QA2交点的轨迹.解:由题意不妨设P(x0,y0),Q(x0,-y0),又知A1(-a,0),A2(a,0),故得直线PA1,QA2方程是y=x0y 0a(x a)和y=x0--y0a(x-a),联立两式解得x0=ax2,y0=axy,因为点P(x0,y0)在椭圆a     

椭圆的伴随曲线及其有趣性质

本文介绍椭圆的伴随曲线及其一组有趣性质,供读者参考．1伴随曲线的产生 轨迹1 设PQ是椭圆x^2/a^2＋y^2／b^2=1（a〉b〉0）的弦,且PQ与x轴垂直,A1,A2是椭圆左右顶点,则PA1和QA2交点的轨迹是双曲线x^2／a^2=y^2/b^2=1.     

紧扣基本模型 实现解法自然——一道中考几何题的解法赏析

<正>一、试题立意分析题目(2016年南通中考题)如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连结BE、CD,设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长;(2)求PQ的长;(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出     

构造，源于知识之间的联系--一道中考试题的解压择析及再认识

1 试题呈现 （2012年北京）在AABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ．     

圆在解决一类与距离有关的最值问题中的应用

1利用圆上的点到圆心的距离相等例1对于抛物线y2=2x上的任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是A·(-∞,0)B·(-∞,1]C·[0,1]D·(0,1)解(1)若a≠0,以P(a,0)为圆心,以|a|为半径作⊙P.图1图2①当a<0时,如图1可知⊙P与抛物线相切于原点,|PQ|≥|a|显然成立.②当a>0时,如     

一个不等式的几何证法

已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱     

圆在解决一类与距离有关的最值问题中的应用

1 利用圆上的点到圆心的距离相等 例1 对于抛物线y2=2x上的任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是