成果集锦

成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮编：３０１８００．自然数集的一个有趣性质我校数学竞赛曾出过这样一道题：把数１，２，…，１６分成两组，使每组的８个数中任两...     

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初等数学问题 (续 ) 1 7的解决杨之在“第四届全国初数会议”上所作“初等数学问题 (续 )”的报告中 ,提出的无限棋盘上最小图形问题(问题 1 7)是 :在无限棋盘上 ,求一个由 1 0 0个正方形 (棋盘格 )组成的图形 ,使其直径 (图形任两点间的最大距离 )达到最小 ,这最小直径是多少     

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多项式幂展开式的再发现唐志华江苏省宜兴市丁蜀高中编者按：学完“二项式定理”之后,如果我们懂得一点类比、推广等合情推理方法,自然会想到去研究（a＋b＋…＋d）”展开式,但往往走入误区．以下是唐志华老师再发现多项式定理的真实（大大减缩叙述）的过程．（a＋b）”展开式的系数可排成“杨辉三角”,且有一系列美妙的性质,这促使我研究（a＋b＋…＋d）”展开式的系数．先从（a＋b＋c）”研究起,命n＝1,2,3,4等,观察,看不出任何规律性．这时,有两条路：一是类比于（1＋x）”,考虑（1＋x＋x2）”,发现有类似的系数三角：有类…     

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ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,...     

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成果集锦关于三角形ｎ等分线的三个命题定理１［１］设△ＡＢＣ的的ｎ（ｎ≥２）等分线交对边ＢＣ于Ｄ１、Ｄ２、…、Ｄｎ－１，则该定理应用面积法易证，此处略．定理２条件同定理１，则特别，当ｎ＝２时，得角平分线公式定理３条件同定理１，则证明：设，则．在△ＡＤＣ...     

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球体积公式的极限法推导本文的目的在于使学生明白 ,球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法 .定理　半径为Ｒ的球 ,其体积Ｖ =43πＲ3 .证明 :考虑半球 ,将其大圆弧分为 2ｎ等份 (如图 ) ,过分点作球大圆的平行截面 ,设第ｉ个截面 (自下而上 )的半径为ｒｉ,其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θｉ=ｉπ2ｎ,ｉ=0 ,… ,ｎ(ｒ0 =Ｒ ,ｒｎ=0 ) .第ｉ- 1与第ｉ个截面间的距离为ｈｉ,以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖｉ,则可以证明Ｖ =2ｌｉｍｎ→∞ ∑ｎｉ =1Ｖｉ.我们来计算Ｖｉ.由于ｒｉ=Ｒｃｏｓθｉ,ｒｉ-1 =Ｒｃｏｓθｉ-1 ,…     

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正ｎ边形的方程多边形方程,不限于“绝对值方程”一种形式,本文就获得了下述定理．定理中心在极点,一顶点为（Ｒ,０）（Ｒ＞０为正ｎ多边形的半径）的正ｎ边形的方程为ρ＝Ｒｃｏｓπｎｃｏｓ１ｎａｒｃｃｏｓ（－ｃｏｓｎθ）．（１）证明：设正ｎ边形Ａ１Ａ２…Ａｎ...     

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筝形初探两个全等的三角形沿对应边拼接的方式有二：一图１是中心对称拼接（图１）,获得的是平行四边形;另一种是轴对称拼接,得到的是本文将研究的图形（图２）．前者可看作将一个三角形以一边的中点为中心旋转１８０°的结果,后者可看作以一边为轴将三角形翻折的结果...     

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关于三角形中角格点问题的研究如果三角形内角都是 10°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有角 ,也都是 10°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .本文研究三角形角格点的计数及应用 .首先 ,三个角都是 10°整数倍的三角形共有 2 7种(即Ａ Ｂ Ｃ =18,Ａ≤Ｂ≤Ｃ的正     

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等差数列的一个性质定理　设 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ,ｍｉ∈Ｎ ,ｉ =1,… ,ｋ.若∑ｋｉ =1ｎｉ=∑ｋｉ=1ｍｉ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .证明 :设 {ｆ(ｎ) }的公差为ｄ ,则ｆ(ｎｉ) =ｆ(ｍｉ) (ｎｉ-ｍｉ)ｄ .于是∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ=1ｆ(ｍｉ) ∑ｋｉ=1(ｎｉ-ｍｉ)ｄ=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) ｄ(∑ｋｉ =1ｎｉ-∑ｋｉ=1ｍｉ)=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .推论 1　 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ∈Ｎ ,且∑ｋｉ=1ｎｉ=ｋｍ ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =ｋｆ(ｍ) .推论 2　 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓ-ｎ 表示前ｎ个奇数项和 ,Ｓ …     

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一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ…     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００求黑洞数的初级复合法对初级黑洞（６１７４）、（８６４１９７５３２）等，中间适当插入若干数，可衍生成新的“复合...     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００．（ｍ，ｎ）阶等差数阵如果数阵｛ｘｉｊ｝的行、列数列分别为ｍ、ｎ阶等差数列，则｛ｘｉｊ｝就叫做（ｍ，ｎ）...     

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关于三个正数的一个代数不等式设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,∑表示三数的循环和 ,Π表示三数的循环积 定理　∑ ｙｚ( ｙ ｚ)(ｘ2 ｙ2 ) (ｘ2 ｚ2 ) ≥∑ｘ .①证明 :①　 ∑ ｙｚ ( ｙ ｚ) ｙ2 ｚ2 ≥∑ｘΠ ｙ2 ｚ2 ,两边平方 ,得∑ｙ2 ｚ2 ( ｙ ｚ) 2 ( ｙ2 ｚ2 ) 2∑ｘ     

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一个几何不等式猜想的 否定及修正 四川省高县籁棚中学杨帆 重庆邮电学院基础数学部杨定华 猜想设△A且二的边2汇、〔姚、月刀上相应旁切圆半径分别为ra、rb、乓,尸为△A仪了平面上任意一点,证明或否定: 记。一。(1),。一。(2),。·(”一”一。(·),那么有结论: 对方程ax=IQg口工(a>0,a共l), (z)当aC(0,z)时,其解xe(a(”),a(”+‘))(n为奇数); (2)当a〔(1,+co)时,其解二e(a(”),+co). 另外“编者按”日:由于a>1时,lima’z=+oo塑二旦二+旦兰丛十几rcrc几乃气.尸召\4一~尸止— rar6一3 这是刘健在文〔1」中的猜想,与著名的Hiyashi不等式[z]…     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００．关于圆锥曲线内外点、切割线的几个问题圆锥曲线的内外点和切割线问题，近年来的探讨虽然不少，但一则屡见失误...     

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(ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵如果三维数阵 {ｘｉｊｋ}的横、竖和纵的所有行分别构成ｍ阶、ｎ阶和 ｐ阶等差数列 ,就称 {ｘｉｊｋ}为 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵 .它有如下主要性质 :( 1)若 {ｘｘｊｋ}为 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵 ,则对固定的ｉ0 ,ｊ0 ,ｋ0 ∈Ｎ ,二维数阵 {ｘｉ0 ｊｋ}、{ｘｉｊ0 ｋ}、{ｘｉｊｋ0 }分别为(ｎ ,ｐ)、(ｍ ,ｐ)、(ｍ ,ｎ)阶等差数阵[1 ] .( 2 )若 ( 1)中数阵的公差分别记为ｄｉ、ｅｊ、ｆｋ,则{ｄｉ}、{ｅｊ}、{ｆｋ}分别为ｍ、ｎ、ｐ阶等差数列 ,且Δｍｄｉ=Δｎｅｊ=Δｐｆｋ=ｄ(常数 ) .( 3)若 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差…     

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成果集锦再谈黑洞数的探求抽屉原则一个反问题的解决自从杨之、张忠辅１９８７年在中国第五届图论会上首次提出黑洞数间题（该文后来收人【ｌ］），并证明了“黑洞数存在定理”以来，我国在此方面的文献甚多．笔者发现，随着位数的增加，黑洞数在数字排列上更显示出其规律...     

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关于闭折线的“可对称化”问题随着闭折线研究的深入,其应用前景日益看好．由于“对称的”闭折线有着多方面的应用,因此,什么样的闭折线可画成对称形的问题,引起关注．比如,边数为３,４,５的闭折线,均可用适当方式画成（轴）对称形（图１）：图１图２但有的六边闭折线（如图２所示）,只要不改变每条边的折性,则无论如何,画不成对称形．定义　如果不改变闭折线任一条边的折性,而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成轴对称图形的,就称为可对称化的闭折线．定理１　对ｎ≥３,凸ｎ边形可对称化．我们业已证明［１］,ｎ边…