与“等价转化”过招——一节习题课的教学实录及反思

数学解题过程实际上是一个不断转化的过程，在转化过程中一般都要求作等价转化，从而具有完备性．所谓等价转化，就是找出原问题的充要条件代替，而在实际解题过程中，解题往往退而求其次，利用原问题的一个较弱的必要条件或充分条件来求解，进而尝试着确定解题思路，从解题策略上来讲，当然是可行的，但在最后应进行等价性检验，     

例谈转化中的“美丽错误”

在数学学习中,转化是一种重要的数学思想,通过转化,许多问题可迎刃而解,但是在转化过程中,容易忽视变换的等价性,从而产生各种“美丽错误”．     

数学解题中等价转化的途径

在数学解题中对问题通过转化而求得解决，是基本的数学思想．从思维结构上看，首先应对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻的认识，当我们遇到陌生或繁难的问题时，可通过这些问题和基本问题的关系，化生为熟、化繁为简来解决问题．转化的方式，有时是等价的，有时是不等价的．在解题中若不注重等价转化，就是花再多的时间和精力，也不会得到正确答案．若注重等价转化，不但可以巧妙简捷地解题，而且还能提高我们的思维水平，培养创新能力及分析问题、解决问题的能力．     

在不等式中关于求解参数范围的两类问题

在不等式中,常常会遇到以“恒成立”和“存在”为题设条件的两类求参数范围的问题．“恒成立”和“存在”问题实质上是“任意性”和“存在性”问题．在一般情况下,这两类问题总可以通过分离变量进行等价转化,     

不等价转化导致解题错误的原因探究

数学题的求解过程,是一个等价转化与化归的过程．实质上,大多数时候,也是一个寻找充要条件的过程．在转化过程中如果忽略了等价性,往往容易导致解题出现错误,笔者总结如下：     

几何概型的转化要恪守主元的等价性

几何概型是一种具有无限性和等可能性特点的概率模型．正因为几何概型的基本事件的个数是无限的，所以它只能通过等价转换的思想，将问题转化为与长度、面积、体积等相关的测度之比但在几何概型问题的转换环节上，常常会出现偏离几何概型特点的理解，尤其是一些具有相似背景的几何概型，由于转化的不等价，很容易导致错解．     

一类绝对值不等式的求解策略及应用

策略分析 转化是解决问题的重要杠杆．为解问题（2）,首要的是去掉绝对值符号．根据函数f（x）的单调性以及不等式的对称性（不妨设0〈x1≤x2）,可同时去掉两个绝对值号作等价转化,使问题等价于研究辅助函数g（x）：f（x）＋4x在（0,＋∞）的单调性问题．     

“问题解决”---可从满足问题的必要性开始

问题是数学的心脏，解决问题当然最好是保持问题转化、变更的等价性，即寻找原命题的充要条件，但对一时难以解决的复杂、困难问题，不妨退一步，先从满足问题的必要性开始，通过尝试、观察、分析、判断、调整等系列探索过程，使问题不断深入，直到解决．本文结合具体例子对此做些初步探讨．     

二阶曲线的几何定义与代数定义的等价性

建立了有关二阶曲线的3个引理，进而论证了二阶曲线的几何定义与代数定度的等价性．     

转化思想在立体几何中的应用

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正,它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口．立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化,具体从以下几个方面人手．     

运用导数解决含参函数问题的策略

以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参函数的最值讨论．     

函数零点一二三四

函数图象与x轴的交点、函数的零点与方程的根可以等价转化,将方程根的问题转化为函数的零点问题,不仅直观展现了方程根的几何意义,重要的是能够简化运算程序,提高解决问题的效率．函数零点的性质不仅体现了函数与方程的紧密联系,而且有着广泛的应用．下面从四个方面探讨函数的零点问题．     

命题"p或q恒成立"等价于命题"p恒成立或q恒成立"吗?

等价转化思想是解决数学问题最常用的重要的数学思想方法,我们常常把一些陌生的问题等价转化为我们耳熟能详、信手拈来的问题．因此,能否准确地将所求的问题等价转化,是在解题时最值得关注的．下面将探讨一类笔者和同学们在具体的教学活动中遇到的与“恒成立”有关的“等价转化”问题。     

实现命题等价转化的途径和方法

面对一个数学问题，如果我们感到难以入手，或者由条件难以直接得出问题的结论时，灵活而正确地实施命题等价转化，往往能给问题的解决带来勃勃生机．为此，本文介绍实施命题等价转化的三种途径和方法，供参考．１　局部等价转化有些问题，当对所求（或所证）的结论难以直接解答时，我们不妨将命题的局部进行等价转化，往往比较容易找到解题途径．例１　求（１＋２ｘ－３ｘ２）６展开式中ｘ５的系数．分析　底数是两项的展开式的通项我们了如指掌，而对底是三项的情况并不熟悉，我们可针对底的具体情况将其调整为二项，即先化为〔１＋（２ｘ…     

在解题教学中注重数学思想的运用

等价转化思想，是解决有关数学问题时经常运用的思想．主要类型为，将未知问题转化为已知问题和将复杂问题转化为简单问题．     

开拓创新 上下求索——探索性问题高考复习指导与能力训练

探索性问题是一种开放性问题，这类问题必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索等多种思维形式去寻求解题的途径．通常涉及分类讨论、归纳猜想，函数与方程、等价转化与非等价转化以及数形结合等重要数学思想与数学方法的综合运用．正确运用数学思想和数学方法是解决这类问题的桥梁和向导．     

勾股定理与展开图

在现实生活中，存在着大量的可以转化为立体几何模型的应用问题．解决此类问题的关键是先将立体几何图形展开，然后利用勾股定理来求解．下面我们一起来看一类与“蚂蚁走捷径”相关的问题．[第一段]     

联想几何意义，巧解代数最值问题

联想是一种自觉的或有目的的想象，它在我们数学活动中无处不在．运用联想，我们可以进行数形转换，将代数问题转化为几何问题，从而有助于我们解题。[第一段]     

两则恒成立条件的等价转化与应用

恒成立问题是历年高考数学函数与不等式知识考查的热点,变量分离和函数图像思想是解此类问题的基本思想．其中解答复合命题有关的恒成立问题时等价演变时常会出现差错．笔者在本文阐述解决关于恒成立命题的等价性转化的有效方法．     

割补法与问题的转化

复杂的问题转化为简单的问题来解决，陌生的问题转化为熟悉的问题来解决，这就是数学中转化与化归的思想．对于几何中的a=b c和ab=cd ef型问题，就可运用这种思想，把问题转化为较熟悉的基本几何证明问题来处理，“割”或“补”的方法常常可以帮助我们达成这种转化．下面分别举例说明．