一类二元二次函数取值范围问题之通解

文[1]、[2]、[3]研究了“实数x,y满足Ax^2＋Bxy＋Cy^2=D（D≠0）时,求S=ux^2＋vxy＋wy^2的取值范围”一类问题的求解方法,本文将给出该类问题的一种简捷而统一的解法,供参考．     

谈一类二元二次函数取值范围的统一解法

<正>类似"实数x,y满足Ax~2+Bxy+Cy~2=D(D≠0),求S=ux~2+vxy+wy~2的取值范围"的问题在各类高中数学竞赛中经常出现.本文根据x,y的齐次特点,通过换元,把这类问题统一转化为求一元分式函数f(t)=(u+vt+wt~2)/(A+Bt+Ct~2)的值域问题.这种解法体现了消元和转化的思想,供大家参考.例1(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y满足4x~2-5xy+4y~2=5,设S=x~2+     

如何确定函数自变量的取值范围

关于自变量取值范围的讨论,要注意两个方面:一是自变量的取值必须使解析式有意义,二是自变量的取值必须使实际问题有意义. 对于整式函数,其自变量的取值范围是全体实数;分式函数,其自变量的取值范围是使分母不为零的实数;二次根式表示     

求解取值范围问题的八种策略

求变量的取值范围是中学数学的重点内容，也是高考的热点问题．因为变量既可以是函数式中的自变量和函数，又可以是方程和不等式中的参数，等式与不等式交织在一起，往往涉及较广的知识面，致使问题具有一定难度。处理好取值范围问题的关键是创设出与该变量有关的不等关系．现就解题策略作简单总结，仅供参考．     

如何确定函数问题中自变量的取值范围

在研究某一问题的变化过程时,总要涉及一些变量,而变量所允许取的值一般都是有一定范围的,如果超出这个范围,就会使研究的问题失去意义．所谓自变量的取值范围,就是使函数有意义的自变量允许取的值的全体．     

用函数观点统一求解含参变量的取值范围问题

函数是高中数学学习的主要内容之一，并且与方程和不等式的联系非常密切．笔者在教学中发现一类方程和不等式含参问题可以统一用函数的观点及不等式的知识求解，显得较为简捷，明了．以下通过几个例子进行说明。     

约束条件下二元代数式取值范围的求法

二元代数式是指含有两个变量的代数式,其中两个变量在约束条件的限制下,求二元代数式取值范围问题,因其背景（载体）形式丰富多样,涉及的知识点较多,综合性较强,故解法也较多．笔者就此类问题作了一些探究,下面分方法举例予以说明,以供大家参考．     

约束条件下二元代数式取值范围的求法

二元代数式是指含有两个变量的代数式,其中两个变量在约束条件的限制下,求二元代数式取值范围问题,因其背景（载体）形式丰富多样,涉及的知识点较多,综合性较强,故解法也较多．笔者就此类问题作了一些探究,下面分方法举例予以说明,以供大家参考．     

如何确定自变量的取值范围

在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：     

浅析二元表达式取值范围的确定

二元表达式是指含有两个变量的表达式,其取值范围的确定,通常有三种方法,一是把二元函数问题转化为一元函数问题求解;二是直接利用基本不等式求解;三是利用二元表达     

不等式中字母取值范围的确定

确定不等式(组)中字母的取值范围，是一类灵活性、综合性较强的问题．为帮助同学们快速、准确地解决这类问题，下面提供几种常用的解题方法．     

如何确定不等式中的参数取值范围

确定不等式中的参数取值范围,是高中数学教学中的难点,也是高考的重点、热点．这类问题常常使学生感到束手无策,即使能解,过程也十分繁锁,或解而不全．针对这种情况,本文给出一些基本解法,加以探讨．     

例谈函数自变量取值范围的确定

函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素．求函数自变量的取值范围通常有以下六种方法．[第一段]     

关于“取值范围”一类题的求解

＂取值范围＂这类数学题,因其较好地体现了运算能力、思维能力、空间想象能力等与＂求极值最值＂一起被列为高考的压轴题;从寻求相关函数、依据充要条件、设置辅助函数,进行数形结合、借助向量意象、造就相关图形、构建位置关系、利用图像关系等几个方面,对求解取值范围一类的数学题进行了求解探究。     

如何确定不等式恒成立的参数的取值范围

确定不等式恒成立的参数的取值范围,是中学数学的难点之一,也是学习的重点,然而,怎样确定其取值范围呢？本文就此类问题的几种基本解法加以论述．     

一类取值范围问题的解法

问题 :设Ａ1Ｂ2 ≠Ａ2 Ｂ1,若ｘ、ｙ满足 :ｍ1≤Ｆ1(ｘ ,ｙ) =Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ≤Ｍ1,ｍ2 ≤Ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ≤Ｍ2 ,求函数Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ +Ｂｙ的取值范围 .对上述问题的求解 ,要先找出Ｆ(ｘ ,ｙ)与Ｆ1(ｘ ,ｙ)及Ｆ2 (ｘ ,ｙ)之间的线性关系 ,然后利用不等式的性质加以解决 .事实上 ,设Ｆ(ｘ ,ｙ) =λ1Ｆ1(ｘ ,ｙ) +λ2 Ｆ2 (ｘ ,ｙ) (λ1、λ2 为常数 ) ,也即是 :Ａｘ +Ｂｙ =(λ1Ａ1+λ2 Ａ2 )ｘ + (λ1Ｂ1+λ2 Ｂ2 ) ｙ .∴　 λ1Ａ1+λ2 Ａ2 =Ａ ,λ1Ｂ1+λ2 Ｂ2 =Ｂ .解得 :λ1=Ｂ2 Ａ -Ａ2 ＢＡ1Ｂ2 -Ａ2 Ｂ1,λ2 =Ａ1Ｂ …     

基于基本不等式求取值范围的研究

用基本不等式求最值是高中数学教学和高考中常见的一种常见的方法,如2011年浙江高考理科第16题:设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_.变形后用基本不等式求解该题,最后只要验证等号成立的条件.但如果用基本不等式求该题x,y为正数时的取值范围,是否可行,还要附加什么条件?值得研究,请看下面的解析.     

一类三角函数取值范围的一种求法

一类由二角正、余弦函数生成的三角函数的取值范围问题，通过挖掘已知与未知间隐含的关系，让未知数参与运算，利用正、余弦函数的有界性求解，思路自然，方法灵活，解答简明．     

变量取值范围求解5法

变量取值范围问题中的变量既可以是函数式中的自变量和函数,又可以是方程、不等式中的变量和参数,它使相等与不等、函数与方程、数与形、常数与变量有机地结合在一起．这类问题不仅涉及的知识面广、综合性大、应用性强,而且情景新颖,能很好地考查同学们的创新能力和潜在的数学素质,是历年高考命题的热点和重点．