“创新思维训练题”参考答案

（接上期）１郾1849,96.２郾示意图：３郾设起点站每隔x分钟开出一辆电车，则１２v车－１２v人＝xv车，４v车＋４v人＝xv车 ．１２－xx－４＝１２４，∴x＝６．４郾第一枪打掉右边第一只得７分，第二枪打掉左边第一只得２×８＝１６分,第三枪打掉右边第２只得３×９＝２７分，合计得５０分．５郾按题意有算式：ETWQ＋）FEFQAWQQQ∵东部兵力大于西部兵力，∴E≥F．从此加式，可知Q＋Q＝Q，∴Q＝０.W＋F＝１０，①１＋T＋E＝１０，②１＋E＋F＝１０＋W.③由①W＝１０－F.代入③，得１＋F＋E＝１０＋１０－F．∴２F＋E＝１９．故…     

换元法在因式分解中的应用

所谓换元法，就是把某个代数式看成一个新的未知数（元）来实行变量替换，其实质就是转化．通过转化常能化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉．下面通过实例加以说明．一、整体换元例１分解因式：（ｘ２＋ｘ－１）（ｘ２＋ｘ－３）－１５．分析我们可视ｘ３＋ｘ－１为整体，令其为ｙ，则ｘ２＋ｘ－３＝y－２．这样便转化为我们所熟悉的二次三项式．解令ｘ２＋ｘ－１＝ｙ，则原式=ｙ（ｙ－２）－１５=Ｙ２－２ｙ－１５＝（ｙ－５）（ｙ＋３）=（x２+ｘ－６）（ｘ２+ｘ＋２）＝（ｘ－２）（ｘ＋３）（ｘ２＋ｘ＋２）．注也可视Ｘ２＋Ｘ或Ｘ２＋…     

巧变形 妙判根

一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a…     

数列求和的七种方法

一、拆项转化法先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，把数列通过拆项，转化为等差或等比数列，然后求和．例１求和：（１＋１２）＋（２＋１２＋１４）＋（３＋１２＋１４＋１８）＋…＋（n＋１２＋１４＋…＋１２n）．解括号中式子的通项公式是an＝n＋１２＋１４＋…＋１２n＝n＋１２（１－１２n）１－１２＝（n＋１）－１２n，∴所求的和Sn＝犤２＋３＋４＋…＋（n＋１）犦－（１２＋１４＋１８＋…＋１２n）＝n２（n＋３）－１２（１－１２n）１－１２＝n２２＋３n２＋１２n－１．二、裂项相消法这种方法是把每项化积为差，化为两项，…     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

小题大做

这里的“小题”是指看起来很简单的数学题目，主要是指填空题、选择题和简答题，这类题目表述形式简单，考查知识点小，分值也小，一当我们挖掘它的内涵就会发现其检测的数学功能却不小，“大做”很有必要．例１（２００２年江西中考题目B卷）解方程：（２x－１）２－２x－１＝０．解（化成一般形式）４x２－４x＋１－２x＋１＝０，２x２－３x＋１＝０．以下可以用因式分解法或求根公式法不难求到：x１＝１２，x２＝１．另解（直接因式分解）（２x－１）２－（２x－１）＝０，（２x－１）［（２x－１）－１］＝０．x１＝１２，x２＝１．解…     

用守恒法解化学题

所谓守恒法就是指选择化学变化过程中始终保持相等的两个量或化学反应前后保持不变的某微粒的数量作为解题依据的方法。守恒法主要有质量守恒法、电荷守恒法、电子守恒法、质子守恒法等。例１表示０．１mol／LNaHCO３溶液中有关微粒浓度关系的式子正确的是（）A．c（Na＋）＞c（HCO３－）＞c（CO３２－）＞c（H＋）＞c（OH－）B．c（Na＋）＋c（H＋）＝c（HCO３－）＋c（CO３２－）＋c（OH－）C．c（Na＋）＝c（CO３２－）＋c（HCO３－）＋c（H２CO３）＝０．１mol／LD．c（Na＋）＋c（H＋）＝c（HCO３－）＋c（OH－）＋…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

用三角代换t=sinx+cosx解题

一、求函数的最值例１设－π≤x≤π，求y＝１＋sinx＋cosx＋sinxcosx的最值．解设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t２－１２，y＝１＋t＋t２－１２＝（t＋１）２２（－２√≤t≤２√）．当t＝－１，即x＝π或x＝－π时，ymin＝０；当t＝２√，即x＝π４时，ymax＝３２＋２√．二、求函数的值域例２求y＝sin２x２（１＋sinx＋cosx）的值域．解设t＝sinx＋cosx，则sin２x＝２sinxcosx＝t２－１，y＝t２－１２（１＋t）＝t－１２（－２√≤t≤２√且t≠－１），故所求函数的值域为犤－２√＋１２，－１）∪（－１，２√－１２犦．三、求sinx＋cos…     

用配方法解竞赛题

一、化简例１（第八届“祖冲之杯”竞赛题）已知０＜x＜１，化简（x－１x）２＋４√（x＋１x）２－４√．解：原式＝（x＋１x）２√－（x－１x）２√＝x＋１x－x－１x．∵０＜x＜１，∴x＋１x＞０，x－１x＜０，∴原式＝x＋１x＋x－１x＝２x．二、求值例２（２００２年全国初中数学竞赛）已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ca的值为（）．（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．解：因为a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２…     

一道竞赛题的几种解法

题目分解因式：（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ－２ａｂ）＋（ａｂ－１）（ａｂ＋ｌ）．（１９９４年武汉市初二数学竞赛试题）解法１──整体法视ａ＋ｂ、ａｂ各为一个整体，将多项式进行整理，得原式＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ（ａ＋ｂ）＋（ａｂ）２－１＝［（ａ＋ｂ）－ａｂ］２－１＝（ａ＋ｂ－ａｂ＋１）（ａ＋ｂ－ａｂ－１）＝（ａｂ－ａ－ｂ－１）（ａｂ－ａ－ｂ＋１）．解法２──主元法视ａ为主元，将多项式进行整理，得原式＝（ｂ２－２ｂ＋１）ａ２－２ｂ（ｂ—１）ａ＋ｂ２－１＝［（ｂ—１）ａ］２－２ｂ（ｂ—１）ａ十ｂ２－１＝［（ｂ－１…     

完全平方式的应用

一、直接应用１．（a±b）２＝a２±２ab＋b２例１已知a＋１a＝－２，则a４＋１a４＝．（２００２年全国“希望杯”初一数学竞赛试题）解：∵a＋１a＝－２，所以a＋１a ２＝（－２）２，即a２＋１a２＝２．∴a２＋１a２ ２＝２２，即a４＋１a４＝２．２．（a±b）２＋（b±c）２＋（c±a）２＝２（a２＋b２＋c２±ab±bc±ac）例２已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ac的值为（）．A．０B．１C．２D．３（２００２年全国初中数学竞赛试题）解：由已知得a－b…     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

变形巧用完全平方公式

准确、熟练地运用乘法公式，常常能给解题带来方便．而将某些公式巧妙变形之后再用，就不仅能使解题过程简捷，而且令人有赏心悦目之美感，下面以完全平方公式为例，谈谈公式变形的应用．变形１由（a＋b）２＝a２＋２ab＋b２移项有a２＋b２＝（a＋b）２－２ab．例１已知a＋b＝１，a２＋b２＝２．求下列各式的值：（１）ab；（２）a４＋b４．解（１）由a２＋b２＝（a＋b）２－２ab，得２＝１２－２ab，∴ab＝－１２．（２）a４＋b４＝（a２＋b２）２－２a２b２＝（a２＋b２）２－２（ab）２＝２２－２×（－１２）２＝７２．变形２由（a－b）…     

二次函数问题错解剖析

二次函数是初中数学的重要内容之一，现将学习二次函数常见的解题错误归类剖析如下，供同学们复习时参考．一、忽视参数的取值范围例１x１、x２是关于x的方程１４x２－（m＋１）x＋m２＋m＝０的两个实数根，设S＝x１２＋x２２．当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？错解：由题意得x１＋x２＝４（m＋１），x１x２＝４（m２＋m）．∴S＝x１２＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２＝犤４（m＋１）犦２－８（m２＋m）＝８m２＋２４m＋１６＝８（m＋３２）２－２．∴当m＝－３２时，S有最小值－２．剖析：从上述解题过程中，很难发现有错误，…     

初一数学下学期总测试题(上)

一、填空题１．把方程３a３x＋（a２＋１）y＝５写成用含x的代数式表示y的形式是．２．当x时，代数式３－２x的值不小于１．３．若｜x－y＋３｜＋（x＋y－７）２＝０，则xy＝．４．已知a＋b＝９，ab＝１４，则a２－ab＋b２＝．５．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：．６．线段AB＝５cm，延长AB到C，使BC＝２AB，若D为AB的中点，则DC的长为．７．若２x－y＝a，x＋２y＝ （a≠０），则x∶y＝．８．若n为整数，且x２n＝７，则（x３n）２－（x２）２n＝．９．不等式５x－７≤０的正整数解是．１０．关于x的方程２…     

巧妙变形 整体代入

代数式的求值问题是各类竞赛中的常见题型，其基本方法是代入法．灵活、恰当地变形，巧妙地进行整体代入，既是一种重要的解题思想，又是一种化难为易的解题技巧．下面以一些竞赛题为例加以说明．例１已知x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，则２x２－xy－３y２＝（）．（２００１年湖北初中数学竞赛试题）解：∵x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，∴２x２－xy－３y２＝２（x２＋xy）－３（xy＋y２）＝６＋６＝１２．例２已知x２－x－１＝０，则x３－２x＋１的值是（）．（２００１年香港初中数学竞赛试题）解：∵x２－x－１＝０，∴x２＝x＋１，则x３…     

成果集锦

倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ...     

巧变主元解参数题

一、解含参数的集合题例１设集合A＝狖（x，y）｜y＝x２＋ax＋２狚，B＝狖（x，y）｜y＝x＋１，０≤x≤２狚，A∩B≠，求实数a的取值范围．解析依题意知x２＋ax＋２＝x＋１在犤０，２犦上有解，即x２＋（a－１）x＋１＝０在犤０，２犦上有解．由x２＋（a－１）x＋１＝０知x≠０．选a为主元，将a从方程中分离出来得a＝－（x＋１x）＋１．要使方程在犤０，２犦上有解，只须a在－（x＋１x）＋１的取值范围内．因为x＋１x≥２，故a＝－（x＋１x）＋１≤－１，即a的取值范围为a≤－１．二、解含参数的三角题例２关于x的方程sin２x＋acosx－２a…     

含有绝对值函数的作图

一、含有绝对值的一次函数的图象例１画出下列各函数的图象．（１）ｙ＝１２｜ｘ｜＋１;（２）ｙ＝｜２ｘ＋１｜＋｜ｘ－１｜．解：（１）原函数可化为ｙ＝１２ｘ＋１,（ｘ≥０）,－１２ｘ＋１．（ｘ＜０）．因此,原函数图象是由射线ｙ＝１２ｘ＋１（ｘ≥０）和ｙ＝－１２ｘ＋１（ｘ＜０）组成的一条折线,转折点是（０,１）,如图（１）．整个图象关于ｙ轴对称．（２）当ｘ≤－１２时,ｙ＝－（２ｘ＋１）－（ｘ－１）＝－３ｘ;当－１２＜ｘ≤１时,ｙ＝２ｘ＋１－（ｘ－１）＝ｘ＋２;当ｘ＞１时,ｙ＝２ｘ＋１＋ｘ－１＝３ｘ．即…