对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

谈证明“1/a＋1/b=k/c”型题的策略

当证明某图形中的三条线段a、b、c具有形如上1/a＋1/b=k/c的关系时，需先将它变形为c/a＋c/b=k，     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1）当且仅当a=b=c=1/3时取到等号．     

巧用对称求最值

例1若a,b,c〉0,且a（a＋b＋c）＋bc=4—2√3,求2a＋b＋c的最小值． 解由已知b,c位置对称,当2a＋b＋c取最小值时,b=c成立,此时     

几个优美不等式的推广

文[1]给出了一个猜想： （a3＋b3＋c3）（（1/a3＋1/b3＋1/c3）≥（a2/b2＋b2/c2＋c2/a2）（b2/a2＋c2/b2＋q2/c2）文[2]证明了该猜想中不等号是反向成立的,     

丢番图方程|(εn--εn)/(ε--ε)|=1的解数

设a,b,c,k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,∈｛1,2,4｝,k&;gt;1,而且k在c=1或2时为奇数的正整数；又设ε＝（√a+√-b）／√c,-/ε=√a-√-b)/√c。证明了：当（a,b,c,k）≠（1，7，4，2）或（3，5，4，2）时，至多有1个大于1的正奇数n适合|ε^n--/ε^n)/(ε--/ε）|＝1，而且如此的n必为满足n＜1＋（2logπ)/logκ+2563.43(1+21.96π/logκ）的奇素数。     

一道数学竞赛题的六种证法

题目：a、b、。设分别是直角三角形ABC的两条直角边和斜边的长,则an＋bn＜cn（n＞2nEN）。（1980年匈牙利数学奥林匹克试题）证法1：用数学归纳法证①当n＝3时,由c＞a及c＞b得：a’＋b’＝a’·a＋b‘·b＜a‘·c＋b‘·C“C（C‘＋b‘）＝c’即当n＝3时,原不等式成立。②假设n＝k时,原不等在钻改立,即a‘＋b‘＜c‘则n＝k＋1时,有／”‘＋b‘”‘。a‘·a＋b‘·b＜a‘·C＊b‘·c＝C（C‘＋b‘）＜C·C‘＝c。、1即当n＝k＋l时,原河湾劳o成立。综合①②知,对于n＞2,nEN,原不等式都成立,故a”＋b”＜C”n［＄2;37HseMt…     

关于纯指数Diophantine方程ax+dby=cz

设a、b,c,d、r是适合a^2＋db^2=c^r，gcd（a，db）=1，a恒等于-3（mod4），b恒等于2（mod4），d恒等于1（mod2），r恒等于1（mod2）。r〉1．（b／a）=-1，（d／a）=1的正整数，其中（＊／＊）是Jacobi符号，本文证明了：当c是奇素数时，方程a^x＋db^y=c^z仅有正整数解（x，y，z）=（2，2，r）     

第14讲 一次函数

要点复习 1．定义：形如y=kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做____；特别地，当b=0时，（k、b为常数且k≠0）叫做____．     

从连分数的计算谈起

连分数（continued fractions）是以特殊的方式将若干分数相结合来表示实数f，形如f=ao＋b1, a1＋b2 a2＋b3/a3＋ … 其中a0、a1、a2、a3、…和b1、b2、b3、…为整数，当b1=b2=b3=…=1时，可得简单的连分数，形如     

几个猜想的修正与证明

文[1]介绍了一些新的代数不等式,同时提出5个猜想,本文对上述猜想给出证明或修正后再给出证明,文中∑P（a,b,c）均指∑P（a,b,c）=P（a,b,c）＋P（b,c,a）＋P（c,a,b）．     

（二）一次函数及应用

1．定义：形如y=kx＋b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做x的____函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx＋b就成为y=kx（k是常数，k≠0），此时，y叫做x的_____函数。     

柯西不等式的变形技巧

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2;＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

函数f（x）=cx＋d/ax＋b的一个恒等式的发现与引申

1问题提出 函数f（x）=cx＋d/ax＋b（ad≠bc,ac≠0）的图象关于（-b/a,c/a）中心对称,故函数有 f（x）＋f（-2b/a-x）=2c/a恒成立,仿此形式,函数f（x）=cx＋d/ax＋b有没有形如f（x）。[第一段]     

函数

内容讲解 1．一次函数：形如y=kx＋b（k≠0，k，b为常数）的函数。 注意：（1）k≠0，否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx,y叫x的正比例函数。 2．图象：一次函数的图象是一条直线。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

又谈不动点法求数列的通项公式

文[1]利用函数f（x）的“不动点”巧妙地求出了形如an=aan-1＋b/can-1＋d（c≠0,ad≠bc）,及an=aan-1^2＋b/2aan-1＋c（a,b,c均不为0）的数列通项公式,读后深受启发,经过研究,笔者发现利用函数f（x）的“不动点”还可解决对于初始值a0≠f（a0）,a1≠f（a1）（其中f（x）=x^2-q/2x-2p）递推关系形如an＋1=anan-1-q/an＋an-1-2p（p,q∈R）的通项公式．     

剩余问题的一种解法

问题已知一数N除以a余c，除以b余d，这个数是几？ 设N除以a、b的商分别为m、k，则 N=ma＋c=kb＋d． 不妨设a〉b，则k≥m，故可设k=m＋n（n≥0）．于是N-c=ma=（m＋n）b＋（d-c）。