正弦余弦曲线对称问题的解法

高考中有关正弦(余弦)曲线有两类对称问题:中心对称和轴对称.本文给出求解这两类对称问题的若干方法. 例1 (2003年高考题)已知函数f(x)=sin(ωx φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值. 解法1:定义法.由f(x)是偶函数,知有     

选择解法的理性思考

例1 如果函数f(x)=sin 2x a cos 2x的图像关于直线x=-π/8对称,求a的值.     

例析特殊情形的解题功能

在数学解题中 ,很多问题的特殊情形 (如特殊值、特殊位置、特殊图形、特例等 )常能起到启迪思维、纠正错误、优化过程、培养能力之功效 在近年来的高考以及各级考试中 ,利用特殊情形处理有关试题屡见不鲜 本文举例说明特殊情形的解题功能 .1　铺垫功能某些数学命题的证明 ,往往需要其特殊情形的解决 ,而其它情形的解决则需“特殊情形的解决”这一基础 ,因此 ,它起着铺垫的作用 例 1　设Q是全体有理数的集合 ,求所有适合下列条件的从Q到Q的函数 f(x) :( 1) f( 1) =2 ;( 2 )对Q中所有的x ,y ,f(x·y) =f(x)·f( y) - f(x+y) + 1.分析　注…     

求函数解析式的常用方法

函数解析式是研究函数性质的基础 ,求函数的解析式是函数问题中较难掌握的一类问题 ,下面结合实例谈谈求函数解析式的 1 0种常用方法 .1　配凑法已知f[g(x) ]的解析式 ,求f(x)的解析式 ,常用配凑法 .例 1　已知f(x 1x) =x2 1x2 -x -1x 1 ,求f(x) .解　因为f(x 1x) =(x 1x) 2 - (x 1x) - 1 ,所以f(x) =x2 -x - 1 .评注　配凑法的关键就是通过观察 ,把f[g(x) ]的解析式凑成关于g(x)的形式 .2　换元法已知f[g(x) ]=h(x) ,且g(x)存在反函数 ,求f(x)的解析式 ,常用换元法 .例 2　已知f(x 1x ) =x2 1x2 1x,求f(x) .解　设x 1x =t,则x =1t…     

一个函数图像对称问题的探索

文[1]至文[4]都对如下两类常见的对称问题进行了辨析:例1设函数y=f(x)定义在实数集上,且满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图像关于对称.例2若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图像关于对称.作为其补充,本文再给出一组容易混淆的对称问题:例3若函数f(x)(x∈R)满足:f(x-3) f(1-x)=0,且方程f(x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.例4已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3) f(1-x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.分析对于例3,由条件知:f(x)的图像关于点(-1,0)成中心对称,又已知方程f(x)=0恰有三个相异实根,所以这三个根中必有一根为-1…     

不等式恒成立问题中的求参策略

含有参数不等式恒等式成立问题在高考试题中经常出现 ,是高考数学的一个重要知识点 .但是由于这类问题涉及知识点多 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,难度大 .是教学中的一个难点 .本文结合教学实例 ,对不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作一些归纳和整理 ,希望有助于学生的复习 .一、分离参数法分离参数法就是把不等式中的参数 t和自变量 x分离出来 ,通过求函数 f ( x)的最值来求参数的取值范围 .例 1　已知 f ( x) =lg( x +1) ,g( x ) =2 lg( 2 x +t) ( t∈ R) ,如果 x∈ [0 ,1]时 ,f ( x)≤ g( x)恒成立 ,求t的取值范围 .解 :由 f ( x…     

有关复合函数的反函数问题的讨论

函数是高中数学的重点和难点,而反函数又是函数中的难点．同学们容易对复合函数的反函数理解不清,在解题过程中思绪比较混乱．例:已知函数f(x)满足f(x-1)=2x+1/x-2,函数g(x)与函数f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(11)的值．     

反函数中几个常见误区

反函数是研究函数性质的重要手段,反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念、性质,有助于得到比较系统的函数知识,并为以后函数的深入学习奠定基础.在本人多年的教学过程中,发现学生对反函数的认识有以下三种常见错误,本文将它们进行剖析,以期达到析错防错之功效.误区一认为f?1(x+a)与f(x+a)(a≠0)是互为反函数.例1已知函数()231f xxx=?+,函数y=g(x)的图象与函数y=f?1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(5)的值.错解∵y=g(x)与y=f?1(x+1)关于直线y=x对称;∴g(x)与f?1(x+1)互为反函数,即()(1)2(1)325(1)1g x f xx xx x=+=++?+=+,∴g(5)=15/5…     

特值法在不等式恒成立问题中的应用

<正>由不等式恒成立求参数的取值范围问题是导数部分常见的题型,也是高考中的热点问题.对于问题：关于x的不等式f(x)≥0(x∈D,参数a∈P)恒成立,求a的取值范围.有时可以在集合D中取一个特殊的值x0,将其代入不等式得f(x₀)≥0,由此解得a的取值范围为集合A.显然当a∈?PA时, f(x₀)<0,不符题意,因此,如果能够证明当a∈A时不等式f(x)≥0恒成立,那么集合A就是所求的a取值范围,我们称这种解题方法为“特值法”.     

高考函数重点题型和解法探求

一、函数概念与性质综合题运用函数概念与性质(含临时定义的性质),并借助方程工具,可解决抽象函数的求值、单调性、奇偶性、有界性等诸多问题. 例1 设f(x)是定义R上的偶函数。其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,1/2],都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.①求f(1/2)及f(1/4);②证明f(x)是周期函数.     

谈解析几何中的对称问题

“对称”是解析几何中的常见问题 ,也是一种重要的思想方法 .本文旨在对解析几何中的点对称、轴对称问题进行整理 ,以供学生参考 .1　关于点的对称(1)点关于点的对称问题 ,通常我们是将其化为中点问题来解决 .例如 ,求点P(x ,y)关于点M (x0 ,y0 )的对称点P′的坐标 .设P′(x′ ,y′) ,由M为｜PP′｜的中点 ,得　　x+x′2 =x0y+ y′2 =y0 x′ =2x0 -x ,y′=2 y0 - y ,即所求对称点的坐标为P′(2x0 -x ,2 y0 - y) .(2 )曲线关于点的对称问题 ,利用对称定义 ,结合求轨迹方程的代入法即可解决 .例如 ,求曲线C :f(x ,y) =0关于M (x0 ,y0 )对…     

一类复合最值问题的解题策略

求最大(小)值中的最小(大)值问题,即形如求f=(x)=max{a_1(x),a_2(x),…, x∈Ia_n(x)}的最小值, 求f(x)=min(a_1(x), a_2(x),…, x∈Ia_m(x)}的最大值, 求f(x)=maxF(Y,x)的最小值, Y∈D 求f(x)=minF(y,x)的最大值     

导数的应用典型错误解析

导数作为一种工具,在解决数学问题时极为方便,尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程,但是笔者在教学过程中,发现导数的应用还存在许多误区.一、导数的定义理解不清【例1】已知函数f(x)=logax 1,求li mΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx.错解:因为f(x)=logax 1,∴f′(     

几道高考压轴题所蕴涵的重要分析引理

1先看2001年高考数学题(全国卷的压轴题,第22题)的表述:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,P x1,x2∈0,21都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0.(1)求f(21)及f(41);(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n 21n)求lni→m∞(lnan).这里问题的关键是函数方程式f(x1 x2     

正弦曲线轴对称问题的解法综述

有关正弦曲线y=Asin(ωx+(?))的对称问题,是高考及其他考试的热点问题.本文通过一例对正弦曲线的轴对称问题的解法,加以归纳总结,供参考.例题:已知函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π/6对称,求a的值.本题的常规思路是利用辅助角公式,化成     

赋值法在解题中的应用技巧

在解数学题时 ,人们运用逻辑推理方法 ,一步一步地寻求必要条件 ,最后求得结论 ,是一种常用的方法 .对于有些问题 ,若能根据其具体情况 ,合理地、巧妙地对某些元素赋值 ,特别是赋予确定的特殊值 (如 0 ,1,- 2等 ) ,往往能使问题获得简捷有效的解决 .这就是赋值法 .下面举例说明这种方法在解题中的应用 .1　在函数解题中的应用例 1　已知二次函数 f(x) =ax2 +bx+c(a,b∈R)满足下列条件 :f(- 1) =0 ,且对任意实数 x都有 f(x) - x≥ 0 ,并且当 x∈ (0 ,2 )时 ,有 f(x)≤ (x+12 ) 2 .(1)求 f (1)的值 ;(2 )判断 a,b,c的符号 .解　 (1)∵当 x∈ …     

解抽象函数题的方法

抽象函数是没有给出具体解析式的函数,内容一般涉及到函数的单调性、周期性、奇偶性,不等式性质、解不等式或不等式组、数学归纳法等;题型常有求值、求字母范围、比较函数值的大小、解不等式、证明和开放型题(缺少条件或结论的题)等.掌握抽象函数问题的解法,可以加深我们对函数本质的认识,提高分析和解决问题的能力 一、取特殊值法 例1 已知f(x)在(0,+∞)上有定义,且满足条件:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)≥1/x2;     

例说用对称观点解题

运用对称观点分析、解题常使某些数学问题的解决快捷、简明,值得探讨,本文仅以几例说明。一利用图形的对称性质例1 求f(x)=(x~2-4x+8)~(1/2)+(x~2+6x+25)~(1/2)的最小值。解:将原函数变为: f(x)=((x-2)~2+(2-0)~2)~(1/2)+((x+3)~2)+[2-(-2)]~2)~(1/2) 令y=2 于是问题转化为在直线y=2上求一点,使得这点到A(2,0),B(-3,-2)的距离之和为最小。由平几知识知:取A关于y=2的对称点A′(2、4)。 f_(min)(x)=|A′B|=61~(1/2) 例2 f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),且知f(x)在定义域内有11个根、求各根之和。由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称。由f(x)与x轴有11个交点,由对称性知:     

三角函数中的参数求值或求范围问题

三角函数中的参数求值或求范围问题实际上是一般函数中此类问题的具体化,仍然包括等式恒成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型,下面举例加以单述.1等式恒成立型这一类型包括奇偶性概念、周期性概念、存在性问题三种,解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路.例1若f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,求θ的值.若是偶函数呢?解法1(定义法)因为f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即3sin(-2x+θ)=-3sin(2x+θ)对x∈R恒成立,即sin(-2x+θ)=sin(-2x-θ)对x∈R恒成立,所以-θ+2kπ=θ,即θ=kπ(k∈Z)为所求.解法2(…     

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…