圆与圆锥曲线的不解之缘——与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探索

与具有不同位置关系的两定圆相离、相切、相交的动圆圆心轨迹随两定圆位置的变化而变化.当两定圆C₁,C₂相离时,若动圆C与圆C₁,C₂都外切或内切,则圆心C的轨迹为双曲线;若圆C与圆C₁（C₂）外切、与C₂（C₁）内切,则圆心C的轨迹为双曲线的右（左）支;当两定圆C₁与C₂外切时,动圆圆心C的轨迹是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线;当两定圆相交时,动圆C与两相交定圆同时相切,动圆圆心C的轨迹仍是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线（或其中一部分）;当两定圆内切或两定圆内含时,动圆C的圆心的轨迹是以定圆圆心C₁,C₂为焦点的椭圆或一条射线.     

圆锥曲线中的一类定点、定线探秘

文[1]与文[2]给出了圆锥曲线的一个如下性质:性质1已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD.性质2已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),C,D是双曲线上x轴同侧的两点,A,B分别是双曲     

双曲线及其一个同心圆的性质

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),圆O:x^2+y^2=r^2(r>0).(1)当b>a>0,r^2=a^2b^2/b^2-a^2时,直线l是圆O的切线,若直线l与双曲线C相交于点A、B,则OA⊥OB;(2)当a>b>0,r^2=a^2-b^2时,若从圆O上点P引双曲线C的两条切线PA、PB,则PA⊥PB.     

一道高考试题的探究与推广

题目（2009北京高考卷19题）已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的离心率为√,右准线方程为x=√3/3．（I）求双曲线C的方程;（Ⅱ）设直线l是圆0：x^2＋y^2上的动点P（x0,Y0）（X0Y0≠0）处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值．     

解析几何中几类定圆问题的命制背景

正数学中很多有趣的问题往往背景都比较浅显易懂,解析几何中的定圆问题就是一类有趣的本题.本文对常见的三种定圆问题的命制背景作一个探讨.类型1以代数形式的圆的切线系为背景命制的定圆问题当A~2+B~2为定值时,我们不难发现点P(x_0,y_0)到直线l:A(x-x_0)+B(y-y_0)+C=0的距离为定值.下面的两个问题都是根据该背景命制的.问题1:已知t∈R,求证:存在定圆与直线l:(t~2-1)x+2ty     

2014年江西省理科圆锥曲线题目的探究推广

题目如图1,已知双曲线C：x^2/a^2-y^2=1（a〉0）的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF／／OA（O为坐标原点）． （1）求双曲线C的方程; （2）过C上一点P（x0,y0）（y0≠0）的直线l：x0x/a2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=3/2相交于点N,证明：当点P在C上移动时,｜MF｜/｜NF｜恒为定值,并求此定值．     

同心椭圆与圆的一个性质

<正>已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A1,A2分别为C的左、右顶点.结论1如图1,若椭圆C和动圆C1:x2+y2=t2(b相似文献   

直线与圆的典型题例解析

直线与圆是解析几何知识的基础,也是近几年高考的热点内容,因此,熟悉、掌握一些直线与圆综合问题十分必要. 例1已知圆C与圆C1:x2+y2-2x—=0外切,并且与直线l:x+ 3~(1/2)y=0相切与点P(3,-3~(1/2)).求此圆C的方程. 求圆C的方程要先确定圆心的坐标和半径的长.可设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,因为圆C与圆C1相外切,且圆C1的半径为1,所以两圆的圆心距|CC1|=r+1.又因为与直线l相切与点P,所以圆C的圆心在过P点与直线l垂直的直线上,且圆心到直线l的距离等于半径r,依据圆的几何性质即可求出参数a,b、r 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.     

有心二次曲线的一组性质

本文给出有心二次曲线圆、椭圆及双曲线的一组定值性质,并由此给出它的统一性质.性质1给定圆x2 y2=a2,过对称轴x轴(或y轴)上的点N(n,0)(或N(0,n))的两条对称割线交圆于A、B、C、D四点,直线BC或AD交x轴(或y轴)于M(m,0)(或M(0,m)),则mn=a2.证明如右图,设yA(xA,yA),B(xB,yB),BA由N     

对2014年高考数学江西理卷20题的研究

题目 如图1,已知双曲线C:x2/a2-y=1(a＞0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). (Ⅰ)求双曲线C的方程: (Ⅱ)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:x0x/a2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=3/2相交于点N.证明:当点P在C上移动时,|MF|/|NF|恒为定值.并求此定值.(2014年高考数学江西理试题)     

例谈一题多解

例（2006年山东卷21题）已知双曲线C与椭圆x^2/8＋y^2/4=1有相向的焦点,直线y=√3x为C的一条渐近线．（1）求双曲线C的方程;（2）过点P（0,4）的直线Z,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）,     

双曲线渐近三角形性质再探

定理1 已知直线l是过双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,Y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形,渐近三角形有如下性质……     

与三角形内切圆有关的圆锥曲线问题

1．利用内心是角分线交点 例1已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2,点O为坐标原点,点P在双曲线右支上,△PF1F2内切圆的圆心为Q,圆Q与x轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线,垂足为B,求｜OB｜.     

对立体几何背景下动点轨迹问题的"四化"处理

立体几何背景下的动点轨迹问题就是以立体几何图形为载体,考查平面解析几何中的轨迹问题,这类题目涉及的知识点多,立意新颖,综合性强,所以很难找准解题的切入点.本文将通过范例探讨一下这类问题的解题策略.1利用圆锥曲线定义进行简单化处理例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线C1D1与平面ABCD的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B圆C.双曲线D.抛物线图1解析如图1,因为C1D1⊥BB1C1C,所以PC1⊥C1D1,故可得PC1就是点P到直线C1D1的距离.又侧面BB1C1C⊥底面ABCD,作PE⊥BC,则PE即为P到平…     

对《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文的商榷与补充

《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文介绍了与具有不同位置关系的两个定圆都相切的动圆的圆心轨迹随两圆位置的变化而变化,但是,当两定圆相交时,动圆与两相交定圆同时相切的位置关系应该有三种情况:与两相交定圆同时外切;与两相交定圆同时内切;与两相交定圆中的一个内切,一个外切.动圆的圆心轨迹是双曲线(特殊情况是直线)或椭圆.同时,该文标题是圆与圆锥曲线的不解之缘,为了体现圆锥曲线的"完整性",本文补充了与定直线和定圆都相切的动圆的圆心轨迹是抛物线.这样我们就可以说双曲线、椭圆、圆、抛物线都能够从圆相切而生成.     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

关于直线、圆、圆锥曲线的高考预测题

一、选择题(每小题5分,共50分)1.设集合M=｛直线｝,P=｛圆｝,则集合M∩P中的元素个数为A.0B.1C.2D.0或1或22.直线x-"3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2 y2-4x 1=0的位置关系是A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离3.已知双曲线x22-y2=1a>0,)上一点P到两焦(b>0a b2点F1,F2的距离分别为6和2,点M(,)到直线PF302和PF2的距离相等,则此双曲线的方程为A.x4-y2=1B.x4-=1C.x4-=1D.x4-=122y22y22y22354.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为的直线交抛43物线于A,B两点,若AF=λFB(λ>1),则λ等于#$#$A.3B.4C.4D.3325.若曲线x…     

有心圆锥曲线一个有趣性质的引申

文[1]给出了椭圆与双曲线如下一个有趣的性质.性质1给定椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(?a,0)(或A(a,0))是长轴的左(或右)顶点,M(?a,m)(或M(a,m))(m≠0)是定直线L:x=?a(或x=a)上的一定点,过M引直线交C于点P、Q两点,则k AP kAQ为定值2b2/(am)(或?2b2/(am)).性质2给定双曲线C:x2/a     

直线方程x0x／a^2—y0y／b^2=1几何意义

文 [1][2]研究了当点P(X0,Y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时，直线方程x0x/a^2 y0y/b^2＝1的几何意义，本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1上及其内部，外部时，直线方程x0x/a^2-y0y/b^2＝1的几何意义，并给出了它的一些实际应用。     

多解、多变与反思

1　题目的出示与多解题目 :如图 1 ,双曲线C的对称轴是坐标轴 ,离心率为 1 0 ,点P1、P2 是双曲线的渐近线l1、l2 上的两个点 ,△P1OP2 的面积为 9,点P是双曲线C上的一点 ,且点P分有向线段P1P2所成的比是 3 .(i)求双曲线C的渐近线方程 ;(ii)求双曲线C的方程 .(北京市东城区 2 0 0 4年元月高三期末考试题 )直线和圆锥曲线的位置关系是解析几何中的重要问题 ,它不仅可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起 ,而且还能与数学中其他主体知识 (函数、方程、不等式、三角函数、数列等 )联系起来 ,是知识网络的交汇点之一 .因此 ,它是…