浅议切线分隔处理含参不等式——以2017年全国卷导数压轴题为例

<正>深入研究2017年全国卷导数压轴题中的不等式求参问题,对比常规解题方法,借切线分隔处理含参不等式,解答更显简洁与灵动.题1(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)略.常规解答(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.     

2017年高考试题研究——用分离参数法巧解三道高考压轴题

<正>翻看今年全国新课标卷高考试题,发现全国Ⅱ卷文(21)、理(21)和全国Ⅲ卷理(21)可以借助同一种方略解答,即将不等式恒成立问题通过分离参数法转化为不含参数的函数求最值问题,就可以比较简捷地解答.现给出试题及解答方略.1试题呈现试题1(2017年高考数学全国Ⅱ卷文科第21题)设函数f(x)=(1-x²)e2)e^x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+     

借助泰勒展开式,秒杀几道压轴题

1 考题展示 考题1 (2013年新课标全国卷Ⅱ理科21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)＞0.     

证明含“lnx”的不等式的一个小技巧——分离出“lnx”

<正>例1(2010年高考全国卷I理科第20(2)题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明:(x-1)f(x)≥0.证法1可得f′(x)=1x+lnx>0,(f′(x))′=x-1x2.进而可得f′(x)min=f′(1)=1>0,所以f(x)是增函数.当00;当x≥1时,得f(x)≥f(1)     

分离图像法速解2017年高考函数题

<正>分离图像法就是把一个复杂的函数分解成便于求导研究单调性的常见函数的方法,在解决高考函数压轴题上有广泛的应用,下面笔者用此法尝试解决2017年的高考试题。例1(2017年新课标全国卷Ⅱ理21题)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,对f(x)≥0恒成立,求a的值。解析:分离函数得a(x-1)≥ln x对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=a(x-1),h(x)     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

对两道高考题的思考

1.(2010年高考数学全国课标文科第21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.2.(2012年高考数学湖南卷文科第22题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.     

一类特殊方程根的问题解决策略

<正>引例1(2013年安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1、x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3 B.4 C.5 D.6引例2(2014年全国高中数学联赛(江苏赛区)初赛)已知函数f(x)=lg|x-103|.若关于x的方程f2(x)-5f(x)-6=0的实根之和为m,则f(m)的值是.     

构造函数法在高考中的运用

<正>纵观2015年全国各省市高考数学试题不难发现,构造函数法在解决高考试题中有着较为广泛的运用.本文以2015年高考相关试题为例予以说明,仅供参考.一、不等式问题例1(全国卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0.当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()     

“端点效应”破解不等式恒成立问题

<正>1试题呈现(2019年新课标全国卷Ⅰ文科第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范围.2试题解析与评析     

核心素养导向下对一道高考试题的解法探析

1试题呈现(2020年高考全国Ⅲ卷理科21题)设函数f(x)=x^3+bx+c,曲线y=f(x)在点(1/2,f(1/2))处的切线与y轴垂直.(Ⅰ)求b;(Ⅱ)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.     

“定曲线”与“动直线”——从2017年一道高考函数题说起

<正>1题目已知函数f(x)=x-1-alnx,且f(x)≥0,求实数a的值.(2017年课标Ⅲ卷第21题)2分析本题是常见的一次函数与对数函数的复合型函数问题,利用导数研究其极值和最值,再根据f(x)≥0在(0,+∞)恒成立?f(x)_(min)≥0(x∈(0,+∞))可以求解.考虑到f(x)≥0可以转化为alnx≤x-1,     

老师,为什么这方法失灵了?——2018年高考全国卷Ⅰ文科第21题的解题反思

<正>2018年高考刚刚落下帷幕,做真题、研真题是老师、学生们的热门话题,笔者也布置了一些真题给学生做并对其讲解,在讲评2018年全国卷Ⅰ文科第21题时,引发了紧张而又惊喜的一幕.题目(2018年全国卷Ⅰ文科第21题)已知函数f(x)=ae^x-lnx-1.1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;2)证明:当a≥1/e,f(x)≥0.     

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

<正>1考情新动向题1(2018年高考全国3卷理科)已知函数f(x)=2(+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;⑵略.命题组给出的标准答案如下:(1)当a=0时,f(x)=2(+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x/1+x.设函数g(x)=f′(x)=ln(1     

一道高考压轴题的解法赏析及背景探源

<正>高考全国卷的压轴题通常是函数与不等式相结合的试题.这类题目往往背景深刻,立意深远,综合性强,是学生取得高分的瓶颈.使得许多考生只能放弃.基于多数省份重回全国卷以及文理科合卷的趋势,笔者选取2017年全国卷2文科压轴题作为研究对象,多角度探究试题的解法,并探寻试题的背景(包括高等数学的背景),帮助考生认识压轴题的"根",从而取得好成绩.一、试题呈现试题(2017年全国高考题)设函数f(x)     

几道高考压轴题所蕴涵的重要分析引理

1先看2001年高考数学题(全国卷的压轴题,第22题)的表述:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,P x1,x2∈0,21都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0.(1)求f(21)及f(41);(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n 21n)求lni→m∞(lnan).这里问题的关键是函数方程式f(x1 x2     

导数中一类问题的通用解法——先必要后充分的解题策略

<正>我们先来看两个题目:题目1(2010年新课标全国文科21)设f(x)=x(ex-1)-ax2,若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.题目2(2010年新课标全国理科21)设f(x)=ex-1-x-ax2,若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.从高考提供的解答来看,同学们普遍感到晦涩难懂,尤其是理科卷的解答,技巧性较高,对今后再碰到此类问题没有指导意义,而我也发现这类题目     

高考中导数的应用问题分类解析

高中课本引入导数后 ,导数的应用在新课程高考卷中成为主要考查的知识点之一 .2 0 0 4年将在全国大范围内实施新课程卷高考 ,对第一年实施的省、市 ,无疑迫切需要了解新课程卷的特点及其知识考查特点 .笔者认为对过去的几年在部分省、市实施的新课程卷进行研究 ,对我们高考复习的把握不无裨益 .今就过去几年部分省、市在高考中对导数的应用的考查作一归纳 ,旨在探讨导数的应用考查特点 ,供高考复习参考 .1　求曲线的切线若函数 y=f(x)在x=x0 处可导 ,则曲线 y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处有切线 :y - f(x0 ) =f′(x0 ) (x -x0 ) .利用这个结…     

一道导数题的多种解法赏析

<正>一、考题呈现题目(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ae~(2x)+(a-2)e~x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.二、多维度探寻考题解法解法1(原参考答案)(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae~(2x)+(a-2)e~x-1=(ae~x-1)(2e~x+1).(i)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.     

解题来源于猜想——一道高考试题解法再探究

2010年课标全国卷理科第21题:设函数f(x)=e~x-1-x-ax~2.(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.解析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)f′(x)=e~x-1-2ax,由(Ⅰ)知e~x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤1/2时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x