2016年新课标全国卷Ⅰ理科数学第21题的研究与反思

<正>2016年全国新课标Ⅰ卷理科数学第21题:已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x_1、x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.这道题的第(Ⅰ)问,考查函数的零点问题,考生很熟悉,有利于考生稳定情绪,大部分考生可以得分,又利于考生切入第(Ⅱ)问.第(Ⅱ)问     

导数背景下的二元不等式问题

<正>本文介绍四种二元不等式相关问题的解决策略,以期抛砖引玉.一、将二元变为一元1.等量关系消元例1(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x_1,x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.解(1)由题意知x=1不是f(x)的零     

2016年高考数学全国卷(乙)第21题赏析

<正>2016年高考数学全国卷(乙)第21题如下:已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x_1,x_2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.1背景分析本题的命制延续了2015年全国卷Ⅰ第21题的试题特点,题设条件简单明了,从诸如函数零点、参数范围等常考知识点处发问,使考生倍感亲切,有利于考生     

求真务实 打造真正的高效课堂——一道全国高考压轴题给中学数学教师的启示

<正>2016年高考理科数学新课标全国卷(Ⅰ)压轴题:已知f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设两个零点为x_1,x_2,求证:x_1+x_2<2.此题具有表述简洁明了、背景公平公正、立足于考查基本知识与基本技能、内涵丰富、入口较宽、能力要求高、重视对学生数学素养的考查等特点,对高中数学教学有很好的导向作用,给广大数学教师以     

一道双零点导数压轴题的解法分析与拓展

<正>试题呈现 已知函数f(x)=e^x-1-a(x-1).(1)讨论f(x)的零点个数;(2)若f(x)有两个不同的零点x₁,x₂,证明：x₁+x₂>4.上述试题是广东省清远市2022年高三期末教学质检第22题,试题在素材的选取以及问题的铺设方面均与2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题：已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x₁,x₂是f(x)的两个零点,证明：x₁+x₂<2.     

导数在解题中的综合应用

<正>导数处理函数综上所述合问题的"必备工具",主要可以用来判断函数的单调性、求函数的极值、最值,以及利用导数的几何意义来求切线方程,本文就来谈谈利用导数解决一些综合性问题。例1已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求实数a的取值范围。     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

导数背景下多元不等式证明的两种处理策略

<正>案例已知函数f(x)=(x-k-1)e~x.(1)当x>0时,求f(x)的单调区间和极值.(2)(i)若对于任意x∈[1,2],都有f(x)<4x成立,求k的取值范围;(ii)若x_1≠x_2,且f(x1)=f(x_2),证明:x_1+x_2<2k.分析第(2)题的第(ii)问是导数压轴题中的常考题,属于拔高题,常有下面两种处理方法.证法1消参减元法.     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

有一种叫设置零点为变量的方法

<正>一、零点为变量方法的发现近一段时间,笔者多次接触到一些试题,解答这些试题时,如采用常规方法,则烦琐易错;而如果把零点设置为变量,则会简便易行,下面具体分析。例1已知函数f(x)=x²+ax+b有两个零点x_1,x_2,且满足0相似文献   

一次意料之外的研讨

<正>日前,笔者在高三导数复习课上,选择了某市的一道调研试题作为例题:已知函数f(x)=(1-a+ln x)/x,其中a∈R.(1)求f(x)的极值;(2)若1n x-kx<0在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围;(3)已知x_1>0,x_2>0,且x_1+x_2x_1x_2.分析对于第(1)问,易得当x=e~a时,f(x)取极大值e~(-a).对于第(2)问,同学们异口     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

一元一次函数和一元二次函数零点存在的初等证明

<正>命题1函数f(x)=ax+b(a≠0)满足:f(x_1)f(x_2)<0,则■x_0∈(x_1,x_2),有f(x_0)=0.证明:函数f(x)=ax+b的零点即方程ax+b=0的根,b由a≠0知方程ax+b=0有实数根x_0=-a/b,即f(x_0)=0,所以只需证x_0=-∈(x,由f(x_1)f(x_2)<0得(ax_1+b)(ax_2+b)<0即:     

探究含参函数的零点问题

<正>本文通过归类举例的形式,着重说明两个问题:一是求解含参函数零点问题的常用方法;二是关注等价"转化"、"数形结合"等思想在解题中的灵活、综合运用.类型1根据含参函数的零点个数,求参数的取值范围例1若函数f(x)=ln x-ax~2+x有两个零点,则实数a的取值范围是()     

浅析分离参数法求解范围问题

<正>在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数的取值范围时,如果能够把参数分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其对应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围。下面我们就来谈谈分离参数法在解参数取值范围问题中的应用。例1已知函数f(x)=(ax²+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x2+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x³+1/2x3+1/2x²+m的图像有三个不同     

数形结合巧解高考压轴题

<正>数形结合是中学数学中重要的思想方法之一.通过"以形助数"或"以数解形"使复杂问题简单化,抽象问题具体化,很多问题使用数形结合方法能迎刃而解,避免了复杂的计算,而且解法简捷.本文以2016年高考全国课标卷的几道试题为例,运用数形结合思想进行解析,以供参考.例1已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(1)求a的取值范围;     

一道高考试题的解法探究与启示

<正>一、试题呈现与简评试题(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.本试题两个小问,文字量少,表述精炼清晰,呈现平和自然的态势.深化能力立意一直是高考数学命题的追寻目标,本试题立意鲜     

函数零点个数的判断策略

<正>从近几年的高考来看,有关函数零点个数问题的高考试题层出不穷,对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大.以下结合实例探讨判断函数零点个数的策略.一、利用解方程判断函数零点个数例1(2010年福建高考题)函数f(x)=x²+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x2+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x²+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e².所以f(x)有两个零点,故选C.二、利用函数图象判断函数零点个数     

晒疑问 寻症结 促反思——从2015江苏卷一道试题参考答案的纠错谈起

<正>(2015年江苏高考第19题)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a、b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范     

一道高考题的巧解

2007年高考广东卷理科第20题:已知a是实数,函数()fx=2ax2 2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.本文给出一种巧解.解:若函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则方程2ax2 2x-3-a=0在区间[-1,1]上有解.即方