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《中学生数理化(高中版)》2017,(8)
<正>柯西不等式是高中数学教材4-5《不等式选讲》的内容,虽然高考对柯西不等式的考查要求不高,但是它在不等式的证明、求最值中应用广泛。下面就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。1.柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。2.柯西不等式的变形:设a_i∈R,b_i∈R+(i=1,2,3,…,n),则 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(8)
<正>最值问题在高中数学中是经常遇到的一类题型,求最值的方法很多,但最常用的还是利用不等式规律,如均值不等式、柯西不等式等。下面就来谈谈利用柯西不等式求最值这种方法的应用。柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)2≤(a_12≤(a_12+a_22+a_22+…+a_n2+…+a_n2)(b_12)(b_12+b_22+b_22+…+b_n2+…+b_n2)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。例1设实数a,b,c,d,e满足: 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(11)
<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k2·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k2≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。 相似文献
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有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥ 相似文献
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算术——几何平均值不等式的内容是“若干正数的算术平均值不小于它们的几何平均值”。即 1/n(a_1+…a_2+…+a_n)≥(a_1a_2…a_n)~1/n。 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(6)
<正>不等式是高中数学中很重要的一部分,它包括不等式的解法、不等式的证明和不等式的简单应用。其中,不等式的证明最为复杂,它涉及的知识点较多,特别是在放缩的度的把握上,一直是大多数同学无法掌握的。本文就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。[柯西不等式]:设a_1,a_2,…,a_n与b_1, 相似文献
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本文介绍均值不等式的一个简单的推论及有趣的应用。推论设a_i∈R~ ,i=1,2,…,n,则a_1 a_2 … a_n/n≥n/1/a_1 1/a_2 … 1/a_n等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立. 相似文献
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夏泽苗 《湖南城市学院学报》1986,(6)
众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用, 相似文献
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第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是 相似文献
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在中学代数中,均值不等式指的是算术——几何平均值不等式:若a_i>0(i=1,2,…,n),则(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n,)~(n/(a_1a_2…a_n,))当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,上式取等号(中学只讲二元、三元均值不等式)。 相似文献
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彭光焰 《中学生数理化(高中版)》2007,(11)
向量中有重要不等式|a|·|b|≥|a·b|,如果我们把a和b都看成n维向量,它们的坐标表示是a=(a_1,a_2,…,a_n),b=(b_1,b_2,…,b_n),定义向量a、b的数量积a·b=a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n,|a|=(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)~(1/2),|b|=(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)~(1/2).下面谈谈利用|a|·|b|≥|a·b|来解决等式条件下的最值问题. 相似文献
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n/(1/a_1 1/a_2 … 1/a_n),(a_1 a_2 … a_n)/n分别称为正数a_1,a_2,…a_n的调和平均和算术平均,依次记为H,A我们有不等式H≤A,仅当a_1=a-2=…=a_x时取等号。灵活运用这一不等式可证明一些较困难的不等式。 相似文献
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文[1]提出了如下不等式设a>b>c,则a~2b+b~2c+c~2a>ab~2+bc~2+ca~2文[2]对不等式(1)进行了拓广,得到了下面两个不等式设 a_1>a_2>…>a_n,n≥3,则有a~2_1a_2+a~2_2a_3+…+a~2_0a_1>a_1a~2_2+a_2a~2_3+… 相似文献