数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

数形结合思想优解含绝对值的最值问题

<正>华罗庚先生的一段话：“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,说明数形结合思想才能真正体现了数学内在的本质规律.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数",即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的.本文下面结合具体例子分析数形结合思想在解答绝对值最值问题中的优化作用.一、例题分析例1 求|x-2|+|x+3|的最小值.     

有关直线的六种常见解题方法

一、数形结合法建立坐标系后,点与坐标、方程与曲线等便建立起了一一对应的关系,数形结合思想便能有所体现,而数形结合是研究曲线与方程的最重要的方法之一“.数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确表达与几何图形的直观描述相结合,使得代数问题和几何问题可以相互转化,抽象思维和形象思维能够有机结合.运用这一数学思想,必须熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.例1设k,a是实数,要使关于x的方程｜2x-1｜=k(x-a)+a对于k的一切值都有解,求实数a的取值范围.解析在平面直角坐标系中分别画出l1:y=｜2x-1｜和l2:y=k(x-a)+a…     

例谈数学教学中渗透数形结合思想

数形结合的思想方法,是提高学生的数形转化能力和迁移思维能力的有效途径.正如"数无形,少直观,形无数,难人微".利用数形结合,常常可以使所要研究的问题化难为易,使复杂问题简化、抽象问题具体化.因此,在教学中,有意识地渗透数形结合思想,有利于学生掌握知识与形成能力.下面以梯形面积公式"开拓"为例说明数形结合思想如何在教学中进行渗透.     

数形结合法解题探究(一)

数形结合既是一种基本的、重要的数学思想,又是一种有效的解题方法.所谓数形结合,就是“形”中觅“数”,“数”中思“形”,取数的严谨与形的直观,掌握其联系,进行数与形的转化.要提高数学的解题能力,必须提高数形结合、数形转换的能力.本文笔者以最新的中考数学试题为例,分类对用数形结合法解题的考查要点、思路和策略作点拨,期望对同学们有所启发与帮助.一、验证类[例1]在边长a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b,如图1),把余下的部分拼成一个矩形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证(A)(a+b)2=a2+2ab+b2(B)(a-b)2=a…     

数形结合思想在高考中的妙用

数形结合思想是解数学题中常用的思想方法,通过"以形助数,以数解形"使复杂问题简单化、抽象问题具体化,很多问题使用数形结合的方法能迎刃而解,而且解法简便.本文对2013年湖南省高考数学理科的几道试题运用数形结合思想进行解析,以供参考.     

浅谈数形结合思想在初中数学中的运用

数学思想是数学科学的灵魂,数形结合思想是其中之一.数形结合是数学解题中常用的思想方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.文中从理论和实例两方面谈了笔者对数形结合思想的认识.通过"以数助形"和"以形助数"这两大题型的具体分析,揭示出"数"与"形"之间的紧密关系,从而把问题优化,获得解决.     

例谈数形结合在高中数学中的妙用

数形结合思想是高中数学主要的思想方法之一,其本质是"数"与"形"之间的相互转化。在高中数学教学中,通过数形结合思想方法的有效运用可以使学生在学习过程中轻松跨越障碍。数形结合思想通过"数中思形,以形助数"使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质。     

小学数学数形结合思想方法的渗透策略

"数"和"形"是数学中两个最基本的概念,"数"是"形"的抽象概括,"形"是"数"的直观表达.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,通过"数"与"形"的相互转化来解决数学问题的思想,是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法.结合课题研究实践,通过以形助数、以数辅形、数形互译等策略,在小学数学教学中渗透数形结合思想.     

浅谈集合问题中的数学思想方法

<正>一、数形结合思想根据问题的背景对数的问题借助形去观察,对形的问题借助数去思考,采用这种"数形结合"来解决数学问题的策略为数形结合思想。而解决集合的运算问题时,数轴、坐标系、文图都是有力的"形"。例1已知集合A={(x,y)|y-3/x-2=1,x,y∈R},B={(x,y)|y=ax+2,x,y∈     

数形结合在解题中的应用

数形结合是中学阶段要求掌握的数学思想之一。我们在解题中充分应用这种思想方法,对培养学生的数学素质会有很大的帮助。利用数形结合解题的关键是建立数形对应,把握好数形转化。将复杂问题简单化、明朗化,抽象问题形象化、具体化,从而达到解决问题的目的。下面举几例说明。例1 求函数y=(x~2-2x 5)~(1/2) (x~2-4x 3)~(1/2)的最小值     

数学思想在抛物线问题中的运用

<正>数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.提高分析和解决问题的能力离不开数学思想.本文以近年中考题为例,谈谈如何运用数学思想求解有关抛物线的问题.一、运用数形结合思想求解抛物线问题所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想方法.在解题过程中,通过"以形助数"或"以数解形",可使得复杂问题简单     

运用数形结合应注意等价性

<正>数形结合方法沟通了"数"与"形"之间的联系,"数"因"形"而直观,"形"因"数"而深刻.数形结合已成为解题的重要方法,但在运用数形结合方法时,有时容易犯经验主义错误,以偏概全.一、错误迁移例1通项公式为an=an2+n的数列{an},若满足a1an+1对n≥8恒成立,求实数a的取值范围.解当n≥8时,an>an+1恒成立,即a11<-,只要1a<--.2n+1(2n+1)=min17     

“以形助数”巧解代数问题

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面本文仅就“以形助数”解决代数问题作粗略的探讨.§1.以形助数解决代数问题的途径1.1通过坐标系.如:直角坐标系中,由sinα-2cosα-1可联想到两点连线的斜率;复平面中｜z1-z2｜为复数所对应的两点间的距离.1.2转化.把正数a看成距离,a2(或ab)看成面积,a…     

数形结合的几种基本形式

数形结合是数学解题的一种重要的思想方法.它既可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性,也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.要想灵活的运用数形结合的思想指导解题,除了要准确理解数学概念、运算的几何意义和曲线的代数特征外,还必须熟悉数学问题中数形结合的一些基本形式,使解题思维迅速奔向数形结合的通道,实现数形的转化.本文着重说明借助几何直观性解决与数有关的数学问题的解法.1 .斜率型过A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) (x1≠x2 )两点的直线斜率是y2 -y1x2 -x1,因此涉及此类比值的问题,可考虑转化为直线斜率来求解.例1　已…     

数形结合思想方法的应用

数形结合思想方法是重要的数学思想方法之一,是学习数学的一种指导思想和使用方法,它作为数学教育的重要内容,已日益引起人们的重视.数形结合思想方法包括"以形助数"、"以数助形"两个方面,巧妙地运用数形结合思想方法解决问题,能使抽象问题直观化,复杂问题简单化,达到优化解题途径的目的,从数的严谨性和形的直观性两方面考虑问题,拓展了解题思路,可起到事半功倍的效果.一、由形转化为数的方法1.三角法有些几何关系不能简单的用代数中的式子表示出来,这时如果借助三角函数把这些几何关系根据图形的性质写出式子,     

数形结合思想的解题策略

正《数学课程标准》强调,在数学教学中要加强学生能力与思想方法的培养,能力是核心(包括运算能力、逻辑推理能力、分析和解决问题的能力等),思想是重点(包括分类讨论思想、数形结合思想、模型思想等)。所谓数形结合思想,就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过数与形之间的相应和转化来解决数学问题的思想方法,它包含"以形助数"和"以数解形"两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化,它兼有数     

数形结合在二次函数中的应用

数形结合是通过"数"与"形"的相互转化,使复杂问题简单化、抽象问题具体化.数形结合是初中数学基本思想之一,是用来解决数学问题的重要思想,本文通过实例浅谈"数形结合"在二次函数中的应用.     

谈数形结合思想在高中数学中的应用

数形结合思想能以形助数、以数辅形.巧妙运用数形结合思想能使抽象的问题直观化、代数的问题几何化、复杂的问题简单化.     

数形结合思想

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷．所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合．