一个平面向量数量积的简化公式

平面向量的数量积问题是多年来高考的热点,每年的各种高考模拟题、高考真题中都有此类似的题型.它们有一个共同的特征,就是题中涉及的两个平面向量直接求数量积一般比较困难,所以其求数量积的解法一般可以分为两种思路:一是利用平面向量的基本定理转化来优化计算;二是通过建立坐标系,用平面向量的坐标运算来解决.本文就针对求平面向量数量积的一类问题,提出自己的简化公式,     

例说向量数量积运算中的基向量法

在平面向量与平面几何的交汇题型中,有时候不容易建立平面直角坐标系,此时我们可以采用"基底法"进行求解,即运用平面向量基本定理:如果e₁和e₂是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一一对有序实数（x,y）,使a=xe₁+ye₂,这里{e₁,e₂}称为这一平面内所有向量的一组基底,e₁,e₂称为基向量.如果我们能把题目中所涉及的向量均转化为用"基向量"进行表示,即可利用"基向量"的运算来进行向量的数量积运算。     

妙用基底巧解平面向量题

由平面向量基本定理可知,平面内任意两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底,平面内的任一向量都可以由这组基底唯一表示．在解决与平面向量有关问题时,抓住基底,恰当选择基底可使很多问题迎刃而解．     

选择一组基底,优化一种解法

根据向量共线定理和平面向量基本定理,若给(或选)定平面内两个不共线的向量(即一组基底),则平面内任一向量都可以用这两个向量(即这组基底)来表示.这样,若两个不共线向量的夹角及模均已知(或可求),则可以这两个向量为一组基底,于是在     

例谈高中数学向量数量积最值的求解方法

向量数量积最值问题是高中数学的重要题型,问题突破的难点集中在处理向量的数量积.历年高考中考查平面向量数量积最值问题都十分灵活,因此平面向量数量积最值问题的求法是学生需要注意的问题,熟悉掌握好平面向量数量积最值的求解方法,从而提高解题正确率和效率.平面向量数量积最值问题的求解方法灵活多变,如:坐标法、基底法、几何法、化归法、定义法等.本文分别介绍三种常见的解题思路,结合具体例题讨论如何解决求平面向量数量积最值的问题,详细解答步骤以便于学生学习和熟悉掌握这类问题,灵活运用不同思路有助于学生更透彻地理解平面向量数量积最值问题.     

平面向量数量积性质的妙用

平面向量的数量积是平面向量的核心内容,也是高考考查的热点内容.平面向量的数量积分坐标形式与几何形式两种.利用这两种形式及相关的性质,我们不仅可以解决平面向量的长度、角度、垂直等问题,还可以解决一些函数的最值问题,往往可以收到化繁为简、化难为易的效果.下面举例说明平面向量数量积性质的妙用.证明两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据:①若a与b为非零向     

利用平面向量基本定理中的思想简解四类问题

在现行高中数学课本 (新教材 )中有这样一个定理 :如果ｅ1 、ｅ2 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对于这一平面内的任一向量ａ ,有且只有一对实入λ1 、λ2 ,使ａ =λ1 ｅ1 +λ1 ｅ2 ,我们把不共线的向量ｅ1 、ｅ2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ,这就是平面向量基本定理 .即向量ａ可用向量ｅ1 、ｅ2 线性表出 .利用此定理中的思想可以解决如下四类非向量问题 .1　求值例 1　若ｌｉｍｎ→∞(3ａｎ + 4ｂｎ) =8,ｌｉｍｎ→∞(6ａｎ-ｂｎ) =1,求ｌｉｍｎ→∞(3ａｎ +ｂｎ) .解　把 3ａｎ + 4ｂｎ 与 6ａｎ -ｂｎ 看作一组基底 ,设…     

空间向量在立体几何中的应用

关于空间向量在立体几何中的应用问题,其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的.在绝大部分题目中,空间向量是作为数学工具来解决两类问题:一、垂直问题,尤其是线面垂直问题(面面垂直基本类似);二、角度问题,主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所成的角来进行转化(线面角与此类似).而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的.     

平面向量解题的两大策略

平面向量集数与形为一体,一方面,由于数量的各种运算都有其明显的几何意义,因此充分利用几何意义结合图形是平面向量解题的策略之一;另一方面,由于直角坐标系的引入,平面向量的运算可以通过坐标运算得以实现,因此根据条件建立适当的坐标系,把问题转化为坐标运算又是平面向量解决的又一策略．下面,本文谈谈平面向量解题过程中这两大策略的合理选择与运用．     

例谈简化问题的几种方法

不同类型的问题 ,从不同角度考虑 ,采取适当的方法去处理 ,可以把问题简化 .1　巧用向量向量法的最大优点是思路清晰 ,过程简捷 ,可获得事半功倍的效果 ,且较好地体现了数学中数形结合的思想 .运用平面向量解决有关问题 ,可将几何关系迅速转化为数量关系 ,从而计算出所求结果 .     

《平面向量的数量积》学习指导

由于向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用.因此,在学习向量的有关概念时,要注意向量与数量的区别.向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的。反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量它具有一套良好的运算性质。通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.因此,平面向量的数量积及其几何意义可以处理有关长度、角度和垂直的问题.     

"平面向量基本定理"的说课稿

1关于教学内容的解析本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.2关于教学目标的确定通过本节课的教学,应达到如下目标:知识目标:了解平面向量的基本定理,会作出由给定的一组基底所表示的向量,会把任一向量表示为一组基底的线性组合.能力目标:着重培养学生获取知识的能力.德育目标:培养学生勇于探索、勇于创新的精神,是本节课深层次的目...     

在教学中让学生体会学习的价值——“利用法向量求空间角”的教学实录

<正>【背景】向量法可以将几何问题代数化,把位置关系转化为数量关系,将形式逻辑证明转化为数值计算,降低思维强度,增强可操作性,对消除学生由于学习立体几何而产生的心理压力具有重要意义。而现有教材中只给出了法向量这一概念,如何向学生介绍法向量,并能利用法向量来解决立体几何中的求角问题,本文对此作了一次尝试。【教学目标】(1)会求平面的法向量;(2)掌握用法向量求线面角、二面角大小的方法;(3)体会用向量方法解立几题的特点和优     

空间距离

立体几何中的空间距离一直是高考数学的热点考查内容之一,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基本类型,求其他的几种距离一般都可以化归为这三种距离.高考命题主要侧重考查两类方法——空间向量法和综合几何法,空间向量法又可以分为普通基底向量法和空间坐标向量法;而综合几何法主要是将空间距离适当地转化为平面距离问题,再利用平面几何知识破解.     

突破向量数量积难点的有效策略

<正>向量是高中数学的重要内容之一,是连接代数与几何的桥梁,也是一种重要的数学工具.而向量的数量积是实数,是连接向量和实数的纽带.有关数量积的问题一般比较灵活,是学生思维发展的重要载体.数量积一般涉及模长、夹角、坐标等方面,是向量代数及几何特性的综合表现.在处理有关向量数量积问题时,一般可以从定义法、基底法和坐标法三个方面思考,综合运用转化与化归、数形结合、函数与方程等数学思想解决问题.下面以一道选择题为例阐述有关向量积问题解决的几种有效策略,     

平面向量在高考试题中的应用

平面向量在高考中占有非常重要的地位,它不仅可以单独命题也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考察,充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位. 一、平面向量的基本定理 课本上给出了平面向量的基本定理,只要两向量与不共线,它们就可以作为一组基底,从而使平面内任一向量可以用与表示出来.     

平面向量基本定理探讨

<正>用向量法证明几何问题(未知坐标)时,选用哪两个向量作为基底较合理?一、定理再现如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,存在一对实数λ1,λ2,使a=λ1 e1+λ2 e2。二、定理的认识平面向量基本定理是向量理论中最重要的定理,是向量得以用数量进行计算的桥梁和纽带,是向量理论中的里程碑和标     

平面向量与三角形四心之“趣事”

正向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小.在高中数学"平面向量"(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,又以向量为工具,运用数形结合思想解决数学问题和物理的相关问题.在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系.下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识以三角形两边作为基底线性表示"心"的位置,     

运用向量法解决空间几何问题

向量是新编高中数学的基本内容之一,向量的引入可以启迪同学们从一个新的角度分析和解决立体几何中的综合性问题,如利用向量的数量积可解决有关长度,角度的计算问题,运用向量知识可以使几何问题直观化,数量化,而求长度、角度,判定平行、垂直等问题是高考命题的热点,本文就近几年高考题中的部分立体几何题为例,用向量法给予解答.一、构造基向量,用几何形式来表示有关向量若是有关平行六面体或锥体的,就设法构造基向量利用向量的加、减法的几何意义,把有关的向量表示出来,再把有关的问题转化为向量之间的运算来解决.例1(2000年全国高考广东卷…     

用向量法求空间角的大小

求空间角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角)的大小,是立体几何的重点、难点,又是高考中的热点.运用向量解决这类问题,可以把几何关系迅速转化为数量关系,从而求出角的大小.向量法的最大优点是思路清晰,过程简捷,可获得事半功倍的效果.下面以近几年的高考题为例加以说明.